Квант. 06.02.02. Свойства интеграла типа Коши (Св)

Рассмотрим интеграл типа Коши

Пусть точка не принадлежит контуру интегрирования

Тогда интеграл типа Коши является аналитической функцией вне контура Г и имеет производные любого порядка

Доказательство.

Рассмотрим контур конечной длины.Покажем, что можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла любое число раз, то есть

Покажем для первой производной, для остальных аналогично. Обозначим через расстояние от точки до кривой Г

Возьмем приращение и покажем, что при разность

стремится к нулю. Имеем

И, поскольку (если Г- ограниченная кривая), то модуль последнего выражения

что завершает доказательство теоремы.

Квант. 06.02.03. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции (Т)

Рассмотрим функцию комплексного переменного

Пусть аналитична в точке

Тогда функция имеет в этой точке производные любого порядка, которые записываются формулой

где замкнутый контур, лежащий в окрестности точки в которой функция аналитична, и содержащий внутри себя эту точку.

Доказательство

. Поскольку аналитичность в точке означает аналитичность в некоторой окрестности этой точки, то берем указанный контур и записываем интегральную формулу Коши. Интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши и мы применяем его свойство.

Математические примеры и задачи.

Используя интегральную формулу Коши для производных и теорему Коши, вычислить интеграл по замкнутому контуру.