Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
М(Х) = ∑ xiрi=x1р1 + x2р2+…+ xnрn
i=1
Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X)=M(X-M(X))2
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Пример решения задач
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
х | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
р | 0,1 | Р2 | 0,3 | 0,2 | 0,3 |
Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Найдем числовые характеристики случайной величины:
M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5
D(X)=(-1)2 •0,1+12•3+22•0,2+32•0,3-(1,5)2=1,65
Задачи
1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х | 1 | 3 | 5 |
Р | 0,3 | 0,5 |
Чему равна вероятность ?
|
|
2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х | -3 | -1 | 0 | 3 |
Р | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
Чему равна вероятность ?
3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Чему равна вероятность ?
4. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).
5. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
Р | 0,4 | 0,1 | 0,2 | 0,1 |
Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).
6. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х | -3 | -1 | 1 | 2 | 4 |
Р | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).
7. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х | 5 | 6 | 7 | 9 | 11 |
Р | 0,2 | 0,3 | 0,2 |
Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).
8. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х | -1 | 0 | 2 | 3 | 5 |
Р | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).
9. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Х | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 |
Р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).
10. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 |
Р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,2 |
Найдите функцию распределения F(x) и постройте её график.
11. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 |
Р | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Найдите функцию распределения F(x) и постройте её график.
12. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,3 |
Найдите функцию распределения F(x) и постройте её график.
|
|
13. Производится 5 независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью 0,2 может наступить событие . Найдите математическое ожидание ДСВ -число наступления события .
14. Производится 5 независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью 0,2 может наступить событие . Найдите дисперсию ДСВ -число наступления события .
15. В партии 20% нестандартных деталей. Наудачу отобрано пять деталей. Найдите математическое ожидание ДСВ - числа нестандартных деталей среди пяти отобранных.
16. В партии 35% нестандартных деталей. Наудачу отобрано пять деталей. Найдите дисперсию ДСВ - числа нестандартных деталей среди пяти отобранных.
17. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 5 учебников, причем 3 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.
18. В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,8, второй-0,5. Случайная величина Х - число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
19. В коробке 7 фломастеров, из которых 3 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х- число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.
20. Проводятся три независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события постоянна и равна p. Пусть X – число появлений события A в этом опыте. Найти D(X), если известно, что
M(X) = 2,1.