При внезапном расширении трубы (рис. 8.3) поток расширяется не сразу. Жидкость выходит из меньшего сечения S1 (обозначено 3 - 3) в виде расширяющейся струи. Эта струя отделена почти конической поверхностью раздела от жидкости, находящейся вокруг ее.
Поверхность раздела неустойчива, в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри. Струя постепенно расширяется и на некотором расстоянии l от начала расширения заполняет все сечение S2 (обозначено 2-2).
В пространстве между струёй и стенками жидкость вовлекается в вихревое движение, затухающее по мере приближения к стенкам. Жидкость из этой зоны вовлекается в центральную струю, а жидкость из струи попадает в вихревую зону. Из-за отрыва потока и вихреобразования при расширении теряется энергия.
Давление, скорость и площадь потока:
в сечении 1 – 1: Р1, V1, S1, в сечении 2 – 2: Р2, V2, S2.
Допущения при выводе формулы для коэффициента сопротивления:
1) Гидростатическое давление распределяется в рассматриваемых сечениях по закону гидростатики: ;
2) Распределение скоростей в сечениях соответствует турбулентному режиму движения α1 = α2 = 1;
3) Трение жидкости о стенки на участке 1-2 не учитывается из-за небольшой длины участка;
Рис. 3. Внезапное расширение потока
4) Движение жидкости является установившимся, напор истечения постоянен, средние скорости в сечениях S1 и S2 имеют определенное значение и не меняются;
Уравнение Бернулли для сечений 1 - 1 и 2 - 2 с учетом потерь напора на внезапное расширение .
Выразим потери на расширение
Используем теорему механики: " изменение количества движения (потока) за единицу времени равно импульсу сил, действующих на поток ".
Выразим приращение количества движения потока через объемный расход и скорость
= | = | ||
Изменение количества движения потока | масса*ΔV | импульс |
где – изменение количества движения массы элементарной струйки ρQδt, где Qδt - объем жидкости "1-1-2-2", F*δt - проекция на ось потока импульса внешних сил, действующих на этот объем.
За время δt объем "3-3-2-2", состоящий из элементарных струек, переместится в положение: 3'-3' -2'-2'. Произойдёт изменение количества движения массы жидкости, заключённой в объёме "1-1-2-2".
Жидкость в застойной зоне не участвует в главном движении, поэтому изменение количества движения в объеме "1-1-2-2" за время δt будет равно разности количества движения в объёмах: 3-3’-3’-3 и 2-2' -2'-2. Внутренняя часть объёма при вычитании сократится.
Выделим в потоке струйку с сечениями δs1, δs2, обозначим скорости u1 и u2 в этих сечениях. Изменение количества движения δq массы элементарной струйки
(1а)
где
В скобках (1а) изменение массы струйки в сечениях δs1 и δs2 за время δt.
Вынесем δt в (1а) за скобки, перейдя к дифференциалам, получим
Проинтегрировав по площади выражение в скобках, получаем
.
Эти интегралы можно выразить через средние скорости V1 и V2 в этих сечениях
,
В результате, получим изменение количества движения потока, протекающего через живые сечения S1 и S2 в единицу времени.
(2)
Внешние силы, действующие на рассматриваемый объем:
- сила тяжести G = ρS2l, где l – длина рассматриваемого объёма 1-1-2-2;
- силы давления жидкости на поверхность сечения 1-1 - S1, имея ввиду, что давление Р1 действует по всей площади 1-1 - S1, так как на кольцевую площадь "3-1 и 3-1" действует реакция стенки трубы, а на поверхность сечения 2-2 - S2 действует давление Р2.
Рис.3а Определение силы давления жидкости на выделенный объем.
Так как давления в сечениях действуют по гидростатическому закону, для определения сил на плоские стенки надо умножить давления в центре тяжести площадей S1 = S2 на их величину. Для проекции импульса на ось получим
где
Приращение количества движения будет равно импульсу
/ ρgS2 (3)
Используя уравнение неразрывности, выразим произведение V1*V2
и, поделив (3) на ρgS2, получим
. (4)
Подставляя из (4) выражение в выражение (1) для ранее определенных потерь на расширение
(1)
получим
Потеря напора при внезапном расширении равна разности скоростных напоров в сечениях для турбулентного режима движения при α1=α2.
Эту формулу называют формулой Борда в честь французского ученого, который вывел ее в 1766 г. Потери, определённые по этой формуле, подтверждаются экспериментально.
Рис. 4. Внезапное расширение
Коэффициент сопротивления можно определять относительно скорости в узком и в широком сечении, зависит от того, к какому скоростному напору приводим потери и этот коэффициент.
Уравнение неразрывности, выражаем скорость V2 через скорость V1
Потери и коэффициент потерь при внезапном расширении, относительно скорости в узком сечении V1
Потери и коэффициент потерь относительно скорости V2 в широком сечении
,
где n=(D/d)2.