Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей

Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Вы выиграли в лотерею – случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте – тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут – и это тоже можно считать счастливой случайностью...

 Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с простых примеров. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка – два возможных исхода испытания.

 Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1 /2.

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть. Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна 1/ 6 (один благоприятный исход из шести возможных). Вероятность четверки – тоже 1 /6. А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы. Вот другой пример.

В пакете 25 яблок (и ничего больше). Из них 8 – красные, остальные – зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8 /25, а зеленое – 17/ 25.

 Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8 /25 + 17 /25 = 1.

 Вероятность вытащить из этого пакета банан равна нулю.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

1. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

2. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Роман Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Роман Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

3. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

4. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

5. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

6. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд. Найдите вероятность трех попаданий и одного промаха.

 События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В. В нашей задаче – так и есть: результат каждого выстрела не зависит от предыдущих.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

7. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

 

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.