1. Тонкий стержень (рисунок 5.6)
Предположим, что стержень длиной l имеет постоянное весьма малое сечение F и плотность
r. Его масса определится:
m = rV = rFl,
Рисунок 5.6
где V – объем тела,
м3.
Разобьем стержень на элементарные участки длиной
D xi, массы
которых
mi = rF D xi . Тогда момент инерции относительно оси z,
проходящей перпендикулярно стержню через его край, будет равен:
J = å m x 2 = å rFx 2D x = rF å x 2D x.
z i i i i i i
Перейдя к пределу суммы, получаем определенный интеграл:
l r Fl 3 l 2 ml 2
Jz = r F ò x 2 dx = = rFl = .
0 3 3 3
С помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера определим момент инерции
|
C
относительно центральной оси zC
параллельной оси z:
|
|
C
= ml 2
3
- ml 2
4
ml 2
|
12
Момент инерции тонкого стержня относительно оси z:
.
Момент инерции тонкого стержня относительно оси дящей через центр масс:
|
|
zC, прохо-
.
2. Круглый диск малой толщины и цилиндр (рисунок 5.7)
Предположим, что круглый диск радиусом R
имеет весьма малую толщину h и плотность r.
m = rV = rhF = rhp R 2.
Разобьем диск на элементарные кольца шириной
Рисунок 5.7
D ri, массы которых mi = rhFi.
æ D r ö2 æ D r ö2
Fi = p ç ri + i ÷ - p ç ri - i ÷
= 2 p ri D ri;
è 2 ø è 2 ø
mi = 2 rhp ri D ri.
|
Перейдя к пределу суммы, получаем определенный интеграл:
|
Jz = 2 rhp ò r 3 dr = 2 rhp
= rhp R
2
|
mR 2
.
|
Момент инерции круглого диска относительно оси z:
mR 2
J z =
. (5.3)
2
Для круглого цилиндра (рисунок 5.8) момент
инерции инерций
J z
D J z
определим как сумму моментов элементарных пластинок толщиной
|
Рисунок 5.8
пользуясь формулой (5.3):
|
|
R 2 å
mR 2
|
|
Момент инерции круглого цилиндра относительно оси z:
.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ