2020-05-12
591
1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.
Решение:
Площадь круга вычисляется по формуле: Sкр=πR2.
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: Sсф=4πR2. Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть, площадь поверхности шара равна 36.
Ответ: 36
2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы
радиуса 5.
Решение:
Площадь сферы равна Sсф=4πR2. То есть Sсф=100π.
По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r2 =100, то есть r=10.
Ответ: 10.
3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.
Найдем ее радиус.
Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона: 
, р - полупериметр сторон треугольника.
p=0,5(AB+BC+AC)=21
S=84.
С другой стороны, S=p·r.
Отсюда r=4.
Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Используем соотношение:
h=3.
Ответ: 3.
4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.
Решение:
Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.
Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.
По условию задачи R=10.
Используем соотношение (смотри задачу №3), получим
h=6.
Ответ: 6.
Дома: написать конспект, №577(а), №580.
