Практическое задание выполнить, сохранить файл и оптравить на проверку, не забудьте подписывать свои работы

Логические операции

В алгебре логики логические связки рассматриваются как логические операции. Они имеют свои названия и обозначения. Результаты применения каждой операции к логическим высказываниям (истинным или ложным) можно представить в виде таблицы. В ней указывают все возможные сочетания значений исходных логических высказываний и истинность или ложность результата. Такие таблицы называют таблицами истинности операции. Обычно в них используют обозначения логических значений 0 и 1 или ложь и истина.

Основные логические операции — отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающая дизъюнкция, следование, эквивалентность.

Логическое отрицание (инверсия) — логическая операция, в результате которой из данного высказывания получается новое высказывание — отрицание исходного. Обозначается символически чертой сверху (Ā) или условными обозначениями А, not А, не А (читается «отрицание А», «не А», «А ложно», «неверно, что А»).

Высказывание А ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.

Таблица истинности операции отрицания

Если обозначить через А высказывание «Арбуз является ягодой», то А соответствует высказыванию «Арбуз не является ягодой» («Неверно, что арбуз — ягода»).

Отрицание является унарной операцией. Унарная (одноместная) операция — это операция, которая применяется к одному операнду.

Остальные логические операции являются двуместными (бинарными). Бинарная (двуместная) операция — это операция, которая выполняется над двумя операндами.

Логическое умножение (конъюнкция) — операция, соединяющая два или более высказываний при помощи связки «и». Эта связка символически обозначается с помощью знака ∧ и читается «А и В». Для обозначения конъюнкции также применяются знаки: А • В, А & В, А и В, А and В, а иногда между высказываниями не ставится никакого знака: АВ.

Высказывание А ∧ В истинно только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Высказывание А ∧ В ложно только тогда, когда ложно хотя бы одно из высказываний А или В.

Таблица истинности операции конъюнкции

Например, высказывания «Лондон расположен севернее Лиссабона» и «Лондон расположен восточнее Лиссабона» истинны. Тогда истинным будет и составное логическое высказывание «Лондон расположен севернее и восточнее Лиссабона». Высказывания «Лондон расположен не севернее и восточнее Лиссабона», «Лондон расположен севернее и не восточнее Лиссабона», «Лондон расположен не севернее и не восточнее Лиссабона» — ложны.

Логическое сложение (дизъюнкция) — операция, соединяющая два или более высказываний при помощи связки «или». Эта связка символически обозначается с помощью знака v и читается «А или В». Для обозначения дизъюнкции также применяются знаки: А + В, А или В, А or В, А | B.

Высказывание А v В истинно только тогда, когда хотя бы одно из высказываний А или В истинно. Высказывание А v В ложно только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Таблица истинности операции дизъюнкции

Например, высказывания «Виктор старше Ольги» и «Виктор — однофамилец Ольги» истинны. Тогда истинными будут и составные логические высказывания «Виктор старше Ольги или Виктор — однофамилец Ольги», «Виктор младше Ольги или Виктор — однофамилец Ольги», «Виктор старше Ольги или Виктор — не однофамилец Ольги». Высказывание «Виктор младше Ольги или Виктор — не однофамилец Ольги» — ложно, поскольку ложны оба составляющие его простые высказывания.

Задание 3 № 10632

 

Напишите наименьшее целое число x, для которого истинно высказывание:

 

НЕ (X < 2) И (X < 5).

 

Решение.

Логическое «И» ложно тогда, когда ложно одно из высказываний. Запишем выражение в виде

 

(X >= 2) И (X < 5).

 

Значит, наименьшее число, для которого высказывание будет истинным — 2.

 

Ответ: 2.

Задание 3 № 10634

 

Напишите наименьшее целое число x, для которого истинно высказывание:

 

НЕ (X < 7) И (X чётное).

 

Решение.

Логическое «И» ложно тогда, когда ложно одно из высказываний. Запишем выражение в виде

 

(X >= 7) И (X чётное).

 

Значит, наименьшее число, для которого высказывание будет истинным — 8.

 

Ответ: 8.

Задание 3 № 10635

 

Напишите наименьшее целое число x, для которого истинно высказывание:

 

НЕ (X < 6) И (X нечётное).

 

Решение.

Логическое «И» ложно тогда, когда ложно одно из высказываний. Запишем выражение в виде

 

(X >= 6) И (X нечётное).

 

Значит, наименьшее число, для которого высказывание будет истинным — 7.

 

Ответ: 7.

Практическое задание выполнить, сохранить файл и оптравить на проверку, не забудьте подписывать свои работы.