Идеально посчитанная крутизна – это крутизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:
k = при Δ x →0.
Заметим, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.
Но бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.
Например, 2. То есть одна малая величина может быть ровно в 2 раза больше другой.
К чему все это?
Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим.
А в математике все точно так же, только называется по-другому.
Производная
Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.
Приращением в математике называют изменение.
То, насколько изменился аргумент (x) при продвижении вдоль оси Ox, называется приращением аргумента и обозначается Δ x.
То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси Ox на расстояние Δ x, называется приращением функции и обозначается Δ f.
|
|
Итак, производная функции f (x) – это отношение Δ f к Δ x при Δ x →0.
Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: f ′(x) или просто f ′.
Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:
|
Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.
А бывает ли производная равна нулю?
Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:
C' = 0, C = const, так как приращение такой функции равно нулю при любом Δ x.
А ещё?
Давайте вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси Ox:
Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.
В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой.
Но при этом он остался параллелен оси Ox, то есть разность высот на его концах Δ f равна нулю (не стремится, а именно равна).
Значит, производная
f ′ (x вершины) = = = 0.
Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.
Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает.
|
|
Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.
Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко).
Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть 0. Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.
То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):
Немного подробнее о приращениях.
Итак, мы меняем аргумент на величину Δx. Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал? Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.
Рассмотрим точку с координатой x0. Значение функции в ней равно f(x0).
Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату x0 на Δx.
Чему теперь равен аргумент?
Очень легко: x0+Δx.
А чему теперь равно значение функции?
Куда аргумент, туда и функция: f(x0+Δx).
А что с приращением функции?
Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:
Δf = f(x0+Δx) − f(x0).
Потренируемся находить приращения:
1. Найди приращение функции f (x) = 2 x + 3 в точке x 0 = 2 при приращении аргумента, равном Δ x.
2. Найди приращение функции y(x) =x2 + 2x − 1 в точке x 0 = 1 при приращении аргумента на Δ x.
Решения:
- Приращение функции равно Δ f = f (x 0+Δ x)− f (x 0)
1) Найдём f (x 0+Δ x) = 2(x 0+Δ x)+3 (вместо х подставляем х0+ Δ x)
2) Найдём f (x 0) = 2 x 0 + 3 (вместо х подставляем х0)
3) Находим Δ f
Δ f = f (x 0+Δ x)− f (x 0) =2(x 0+Δ x) − (2 x 0+3) = 2 x 0 + 2Δ x + 3− 2 x 0 – 3 = 2Δ x
Ответ: приращение функции равно Δ f = 2 Δ x
- Приращение функции равно Δ у = у (x 0+Δ x)− у (x 0)
1) Найдём у (x 0+Δ x), для этого в формулу y(x) =x2 + 2x − 1 вместо х подставляем х0+ Δ x. Получаем
у (x 0+Δ x) = (х0+ Δ x)2 + 2(х0+ Δ x) −1 = х02+2х0 Δ x+ Δ x2+2х0+2 Δ x− 1
2) Найдём у (x 0), для этого в формулу y(x) =x2 + 2x − 1 вместо х подставляем х0. Получаем у (x 0) = x0 2 + 2x0 – 1
3) Находим Δ у = у (x 0+Δ x)− у (x 0)
4) Δ у= х02+2х0 Δ x+ Δ x2+2х0+2 Δ x− 1 – (x0 2 + 2x0 – 1) = х02+2х0 Δ x+ Δ x2+2х0+2 Δ x – 1– x0 2 – 2x0 + 1= 2х0 Δ x +Δ x2+2 Δ x= Δ x (2х0 +Δ x +2)
В разных точках x0 при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале – крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда находим производную, надо указывать, в какой точке (х0):
f ′ (х0) при |