Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x – переменная, а числаa,b,c– некоторые числа, причем а ≠ 0.

Основная формула корней квадратного уравнения

D = b² – 4ac (D > 0 – 2 корня; D = 0 – 1 корень; D < 0 – нет корней)

                 х₁ =                                 х₂ =

 

Пример:                х² + 5х − 6 = 0

D = b² – 4ac= 5² – 4· 1 · (–6) =25 + 24 = 49 = 7²

    х₁ =  =  = = – 6

    х₂ =  =  = 1.

Ответ: х = − 6; 1.

 

Пример:                2х² − 5х − 3 = 0

D= b² – 4ac= (−5)² – 4· 2 · (–3) =25 + 24 = 49 = 7²

    х₁ =  =  = = 3

    х₂ =  =  = −0,5.

Ответ: х = −0,5; 3.

 

Квадратные неравенства.

Пример:                3х² − 5х − 2 ≤ 0

Приравниваем к нулю и решаем квадратное уравнение:

                             3х² − 5х − 2 = 0

D= b² – 4ac= (−5)² – 4· 3 · (–2) =25 + 24 = 49 = 7²

    х₁ =  =  = =2

    х₂ =  =  = − .

Отмечаем на числовой прямой корни уравнения, графиком квадратичной функции является парабола, ветви параболы направлены вверх, так как коэффициента > 0:

+                          −                            +

 

− 2                                        х

Так как знак неравенства нестрогий, то корни уравнения входят в область определения, а, значит, заключаются в квадратные скобки.

Ответ: х є .