13.2.1. Критерий устойчивости Рауса − Гурвица
Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающие коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е. Раусом и затем швйцарским математиком А. Гурвицем в конце 18-го века. Приведем без доказательства критерий устойчивости в форме Гурвица.
Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:
Составим из коэффициентов этого многочлена определитель
a1 | a3 | a5 | 0 | 0 | 0 |
a0 | a2 | a4 | a6 | 0 | 0 |
0 | a1 | a3 | a5 | 0 | 0 |
0 | a0 | a2 | a4 | a6 | 0 |
0 | 0 | a1 | a3 | a5 | 0 |
0 | 0 | a0 | a2 | a4 | a6 |
Определитель Гурвица имеет n строк и n столбцов. По диагонали определителя содержатся коэффициенты от а1 до аn, где n – порядок характеристического уравнения, в данном случае – 6-й порядок. Первая верхняя строка содержит все нечетные коэффициенты; вторая строка содержит все четные коэффициенты, начиная с а0; третья строка получается из первой, а четвертая из второй сдвигом вправо на один элемент. В свободные места устанавливаются нули. Аналогично устанавливаются все ниже следующие строки.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1. Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными числами.
2. Все диагональные миноры определителя Гурвица должны быть положительными, включая и определитель Гурвица.
Пример. Устойчива ли система, если ее характеристическое уравнение имеет вид:
.
Первое условие выполняется – все коэффициенты положительные числа.
Определитель Гурвица
0,1 | 20 | 200 |
| 0 | 0 | ||
0,005 | 2,5 | 50 |
| 0 | 0 | ||
0 | 0,1 | 20 |
| 200 | 0 | ||
0 | 0,005 | 2,5 | 50 | 0 | |||
0 | 0 | 0,1 | 20 | 200 | |||
Минор второго порядка
0,1 | 20 | |
0,005 | 2,5 |
Минор третьего порядка
0,1 | 20 | 200 |
0,005 | 2,5 | 50 |
0 | 0,1 | 20 |
Минор четвертого порядка
0,1 | 20 | 200 |
| 0 | |
0,005 | 2,5 | 50 |
| 0 | |
0 | 0,1 | 20 |
| 200 | |
0 | 0,005 | 2,5 | 50 | ||
|
| ||||
Необходимые и достаточные условия критерия Гурвица выполнены, система устойчива.