1. Минором Мij элемента aij называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i-ой стоки и j-го столбца, на пересечении которых находится этот элемент.
Пример 1. Пусть А= , тогда =
Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.
Пример 2. Пусть дана матрица А= . Найдем её миноры.
М12= = - 6 - 20= - 26
М31== = 10-0= 10
2. Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется минор Мij этого элемента, взятый со знаком (. Аij =( ij
Пример 1.. Пусть дана матрица А= . Найдем её алгебраические дополнения некоторых элементов.
А22 = = 1 (-2-0) = -2
А12= = -1 (-6-20) = 26
3. Обратная матрица - матрица, для которой выполняется равенство:
А А-1=Е, где А-1- обратная матрица, Е- единичная матрица.
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
1. Вычислить определитель матрицы А.
2. Вычислить все алгебраические дополнения и записать из них матрицу А*.
3. Транспонировать матрицу А*, записать матрицу А*т.
4. Умножить полученную матрицу на .
Пример. Найти обратную матрицу для матриц В=
1) Находим определитель матрицы В: = 6-(-4) =10 0, следовательно, обратная матрица существует.
2) Алгебраические дополнения:
А11= 3= 3; А12= 4=-4
А21= (-1)= 1; А22= 2= 2
А*=
3) записать матрицу А*т =
4) Записать обратную матрицу: А-1= =
Пример 2. Найти обратную матрицу для матрицы В =
1) Находим определитель матрицы. = -1, следовательно, обратная матрица существует.
2) Матрица из алгебраических дополнений:
В*=
3) Транспонируем матрицу:
В*т=
4).Обратная матрица:
В-1= =
Проверка:
А-1= =
1. Находим неизвестные, выполняем умножение Х=А-1В
Х=
Х1= - =
Х2= - – =-
2. Сделаем проверку:
Следовательно, ответ правильный (1; -1)
Решите системы методом Крамера и матричным методом.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы к эквивалентной ей матрице ступенчатого вида. Называется по- другому «методом последовательного исключения неизвестных».
Алгоритм решения системы уравнений методом Гаусса:
Пусть дана система линейных уравнений:
1) Записать расширенную матрицу
2) Выполнить «прямой ход», привести матрицу к треугольному виду:
3) Выполнить «обратный ход», записав полученную эквивалентную систему, найти , , .
Во время выполнения «прямого хода» можно выполнять следующие преобразования матрицы:
1) Умножать и делить всю строку (столбец) на одно и то же число, отличное от нуля;
2) Складывать и вычитать уравнения;
3) Менять строчки (столбцы) местами;
4) Отбрасывать нулевую строку (столбец).
Пример.
Запишем расширенную матрицу и выполним её преобразования:
Записываем эквивалентную систему:
Подставим в первое уравнение , .
Записываем ответ (-1; 3; 1).
Решите системы методом Гаусса:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Выполните задания по темам