Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения.
Иными словами, уравнение имеет решения при любом , множеством решений уравнения является множеством действительных чисел R.
7..
Идя по алгоритму решения простейшего тригонометрического уравнения:
- представим схему единичной окружности (Рис.7);
- отметим на оси тангенсов заданное значение величины tgx, равное 0 (нулю) (а = 0), где tgx равен нулю – это точка пересечения единичной окружности с осью тангенсов в точке их касания, то есть в точке пересечения с осью ОХ (Рис.7);
- обращаем внимание, что на единичной окружности выделяются две точки, лежащие на одной линии луча, который пересечет ось тангенсов в точке ноль на оси тангенсов. Это две точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям углов, равных 0 и π радиан (см.рис.7):
Рис.7
Эти две точки на единичной окружности, равные 0 и π радиан, и есть решения данного простейшего тригонометрического уравнения. При этом второе решение π получим путем полуоборота (π) от угла, равного 0 радиан.
Поэтому, далее при совершении бесконечного целого числа поворотов (π) (полуоборотов) против часовой стрелки и по часовой стрелке получим целую серию решений (множество значений х), при которых tgx будет равен 0, это значения х: 0; ±π; ±2π; ±3π;…
Все эти углы получаем из первого угла 0 путем прибавления целого числа полуповоротов π (то есть с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).
Таким образом можем записать полученную серию решений данного уравнения одной формулой, решение в общем виде (для любого числа оборотов, то есть для любого числа n):
где n – число оборотов, выраженное положительным или отрицательным целым числом из множества целых чисел Z.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек.
8.
Идя по алгоритму решения простейшего тригонометрического уравнения:
- представим схему единичной окружности (Рис.8);
- отметим на оси тангенсов заданное значение величины tgx, равное 1 (а = 1), где tgx равен 1 – это точка пересечения линии луча угла х с осью тангенсов (Рис.8);
- обращаем внимание, что на единичной окружности выделяются две точки (диаметральная пара), лежащие на одной линии луча, который пересечет ось тангенсов в точке 1 на оси тангенсов. Это две точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям углов, равных π/4 и 5 π/4 радиан (см.рис.8):
Рис.8
Эти две точки на единичной окружности, равные π/4 и 5 π/ 4 радиан, и есть решения данного простейшего тригонометрического уравнения. При этом второе решение 5π/4 получим путем полуоборота (π) от угла, равного π/4 радиан.
Поэтому, далее при совершении бесконечного целого числа поворотов (π) (полуоборотов) против часовой стрелки и по часовой стрелке получим целую серию решений (множество значений х), при которых tgx будет равен 1, это значения х: π/4, 5 π/ 4, 9π/4 ,…;
и -3π/4, - 7π / 4…
Все эти углы получаем из первого угла π/4 путем прибавления целого числа полуповоротов π (то есть с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).
Таким образом, можем записать полученную серию решений данного уравнения одной формулой, решение в общем виде (для любого числа оборотов, то есть для любого числа n):
где n – число оборотов, выраженное положительным или отрицательным целым числом из множества целых чисел Z.
9.
Идя по алгоритму решения простейшего тригонометрического уравнения:
- представим схему единичной окружности (Рис.9);
- отметим на оси тангенсов заданное значение величины tgx, равное (-1) (а = -1), где tgx равен - 1 – это точка пересечения линии луча угла х с осью тангенсов (Рис.9);
- обращаем внимание, что на единичной окружности выделяются две точки (диаметральная пара), лежащие на одной линии луча, который пересечет ось тангенсов в точке - 1 на оси тангенсов. Это две точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям углов, равных - π/4 и -5 π/4 радиан (см.рис.9):
Рис.9
Эти две точки на единичной окружности, равные - π/4 и - 5 π/ 4 радиан, и есть решения данного простейшего тригонометрического уравнения. При этом второе решение - 5π/4 получим путем полуоборота (π) от угла, равного - π/4 радиан.
Поэтому, далее при совершении бесконечного целого числа поворотов (π) (полуоборотов) против часовой стрелки и по часовой стрелке получим целую серию решений (множество значений х), при которых tgx будет равен - 1, это значения х: - π/4 и - 5 π/ 4, -9π/4,…;
и 3π/4,7 π/ 4…
Все эти углы получаем из первого угла - π/4 путем прибавления целого числа полуповоротов π (то есть с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).
Таким образом, можем записать полученную серию решений данного уравнения одной формулой, решение в общем виде (для любого числа оборотов, то есть для любого числа n):
где n – число оборотов, выраженное положительным или отрицательным целым числом из множества целых чисел Z.
Итак, мы разобрали решение простейших тригонометрических уравнений, содержащие в правой части особые табличные значения тригонометрических функций (0, +1, -1).
Следующий дистанционный материал будет посвящен решению простейших тригонометрических уравнений с другими табличными значениями тригонометрических функций.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Рассмотреть, законспектировать и изучить представленный материал.
2. Серию особых решений для уравнений: ctgx = 0, ctgx = 1, ctgx = -1 сделать в конспекте самостоятельно, по аналогии с приведенными решениями для тангенса. Внести в конспект.
3. Выучить группу особых решений простейших тригонометрических уравнений.
4. Знать ответы на Контрольные вопросы к теме:
- Понятие тригонометрического уравнения.
- Понятие тригонометрического круга.
- Определения и описание свойств тригонометрических функций.
- Понятие формул приведения.