Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков.
Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:
1) Два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых.
Здесь ранжируются индивидуальные значения по первому признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.
В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот.
2) Две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков (например, личностные профили по 16-факторному опроснику Р. Б. Кеттелла, иерархии ценностей по методике Р. Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и др.).
|
|
Здесь ранжируются индивидуальные значения, полученные каждым из 2-х испытуемых по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг – признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно.
3) Две групповые иерархии признаков.
Здесь ранжируются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуемых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.
4) Индивидуальная и групповая иерархии признаков.
Здесь ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого и среднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые получены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого, – он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.
Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N.
Возможны два варианта гипотез. Первый относится к первому случаю, второй – к трем остальным случаям.
Первый вариант гипотез
Н0: Корреляция между переменными А и B не отличается от нуля.
Н1: Корреляция между переменными А и B достоверно отличается от нуля.
Второй вариант гипотез
Н0: Корреляция между иерархиями А и B не отличается от нуля.
|
|
Н1: Корреляция между иерархиями А и B достоверно отличается от нуля.
(Курсивом в гипотезах выделены и подчеркнуты слова, которые меняются при формулировке гипотез к конкретной задаче.)
Ограничения коэффициента ранговой корреляции Спирмена
1) Сравниваемые переменные должны быть получены в порядковой, интервальной шкалах или в шкале отношений.
2) Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.
3) Число варьирующих признаков должно быть одинаковым и находиться в пределах от 5 до 40, т.к. верхняя граница выборки определяется имеющимися таблицами критических значений (Табл.ХVI Приложения 1), а именно N < 40.
4) Коэффициент ранговой корреляции Спирмена rs при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В случае если есть много повторяющихся рангов, то необходимо вносить поправку на одинаковые ранги.
Сформулируем общий алгоритм подсчета rs.
АЛГОРИТМ
Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена rs.
1. Определить, какие два признака или две иерархии признаков будут участвовать в сопоставлении как переменные А и В.
2. Проранжировать значения переменной А, начисляя ранг 1 наименьшему значению, в соответствии с правилами ранжирования. Занести ранги в первый столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.
3. Проранжировать значения переменной В, в соответствии с теми же правилами. Занести ранги во второй столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.
4. Подсчитать разности d между рангами А и В по каждой строке таблицы и занести в третий столбец таблицы.
5. Возвести каждую разность в квадрат: d2 . Эти значения занести в четвертый столбец таблицы.
6. Подсчитать сумму квадратов ∑d2,
7. При наличии одинаковых рангов рассчитать поправки:
Та =∑(а3 – а)/12
Тb =∑(b3 – b)/12
где а - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А;
b - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.
8. Рассчитать коэффициент ранговой корреляции rs по формуле:
а) при отсутствии одинаковых рангов
(Ф1)
б) при наличии одинаковых рангов
(Ф2)
где ∑d2 - сумма квадратов разностей между рангами;
Та и Тb - поправки на одинаковые ранги;
N - количество испытуемых или признаков, участвовавших в ранжировании,
9. Определить по Табл. XVI Приложения 1 критические значения rs для данного N. Если rs превышает критическое значение или по крайней мере равен ему, корреляция достоверно отличается от 0.
Пример 1.1:
Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе, у 11 первоклассников по 100-бальной шкале и их средняя успеваемость в конце учебного года по 5-бальной шкале.
Решение
Для решения задачи были проранжированы показатели готовности к школе и средняя успеваемость первоклассников. Данные и результаты решения занесены в таблицу 3.1.
Гипотезы к задаче
Н0: Корреляция между показателем готовности к школе и средней успеваемостью в конце учебного года не отличается от нуля.
Н1: Корреляция между показателем готовности к школе и средней успеваемостью в конце учебного года статистически значимо отличается от нуля.
Таблица 3.1.
Испытуемый | Показатели готовности к школе | Средняя успеваемость в конце учебного года | d | d2 | ||
Значения | Ранг | Значения | Ранг | |||
1 | 65 | 3 | 4,3 | 2 | 1 | 1 |
2 | 70 | 5 | 4,7 | 7 | -2 | 4 |
3 | 71 | 6 | 4,75 | 8 | -2 | 4 |
4 | 50 | 1 | 4,35 | 3 | -2 | 4 |
5 | 68 | 4 | 4,5 | 4 | 0 | 0 |
6 | 83 | 11 | 4,68 | 6 | 5 | 25 |
7 | 78 | 9 | 5 | 11 | -2 | 4 |
8 | 62 | 2 | 3,5 | 1 | 1 | 1 |
9 | 75 | 8 | 4,9 | 10 | -2 | 4 |
10 | 72 | 7 | 4,6 | 5 | 2 | 4 |
11 | 80 | 10 | 4,8 | 9 | 1 | 1 |
Суммы | 774 | 66 | 50,08 | 66 | 0 | 52 |
Значение эмпирического критерия находим по формуле (Ф1):
r s эмп = 1 - 6 * 52 / 11 * (112 - 1) = 312/1320=0,76
Определим критические значения rs при n = 11 по Табл. XVI Приложения 1:
|
|
Подчеркнем, что в таблице критических значений все величины коэффициентов корреляции даны по абсолютной величине. Знак коэффициента учитывается только при его интерпретации.
«Ось значимости»
Ответ:
rs эмп =0,76, Н0 - нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза (a =0,01). Корреляция между показателем готовности к школе и средней успеваемостью в конце учебного года отличается от нуля. Можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью – чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник.
Пример 1.2:
Выборке петербуржцев (31 мужчина, 46 женщин, всего n=77), предлагалось ответить на вопрос: "Какой уровень развития каждого из перечисленных ниже качеств необходим для депутата Городского собрания Санкт-Петербурга?" Оценка производилась по 10-балльной шкале. Параллельно с этим обследовалась выборка из Городского собрания Санкт-Петербурга (n=14). Индивидуальная диагностика политических деятелей производилась по тому же набору личностных качеств, который предъявлялся выборке избирателей.
В Табл. 3.2. представлены средние значения, полученные для каждого из качеств в выборке избирателей ("эталонный ряд") и индивидуальные значения одного из депутатов Городского собрания.
Попытаемся определить, насколько индивидуальный профиль депутата К-ва коррелирует с эталонным профилем.
Таблица 3.2.
Усредненные эталонные оценки избирателей (n=77) и индивидуальные показатели депутата К-ва по 18 личностным качествам
Наименование качества | Усредненные эталонные оценки избирателей | Индивидуальные показатели депутата К-ва |
1. Общий уровень культуры | 8,64 | 15 |
2. Обучаемость | 7,89 | 7 |
3. Логика | 8.38 | 12 |
4. Способность к творчеству нового | 6,97 | 5 |
5. Самокритичность | 8,28 | 14 |
6. Ответственность | 9,56 | 18 |
7. Самостоятельность | 8,12 | 13 |
8. Энергия, активность | 8,41 | 17 |
9. Целеустремленность | 8,00 | 19 |
10. Выдержка, самообладание | 8,71 | 9 |
11. Стойкость | 7,74 | 16 |
12. Личностная зрелость | 8,10 | 11 |
13. Порядочность | 9,02 | 12 |
14.Гуманизм | 7.89 | 10 |
15.Умение общаться с людьми | 8.74 | 8 |
16. Терпимость к чужому мнению | 7,84 | 6 |
17. Гибкость поведение | 7,67 | 4 |
18.Способность производить благоприятное впечатление | 7,23 | 8 |
Таблица 3.3.
|
|
Расчет d2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена между эталонным и индивидуальным профилями личностных качеств депутата
Наименование качества | Ряд А: ранг качества в эталонном профиле | Ряд В: ранг качества в индивидуальном профиле | d | d2 |
1 Ответственность | 1 | 2 | -1 | 1 |
2 Порядочность | 2 | 8,5 | -6.5 | 42.25 |
3 Умение общаться с людьми | 3 | 13,5 | -10.5 | 110,25 |
4 Выдержка, самообладание | 4 | 12 | -8 | 64 |
5 Общий уровень культуры | 5 | 5 | 0 | 0 |
6 Энергия, активность | 6 | 3 | 3 | 9 |
7 Логика | 7 | 8,5 | -1.5 | 2.25 |
8 Самокритичность | 8 | 6 | 2 | 4 |
9 Самостоятельность | 9 | 7 | 2 | 4 |
10 Личностная зрелость | 10 | 10 | 0 | 0 |
11 Целеустремленность | 11 | 1 | 10 | 100 |
12 Обучаемость | 12,5 | 15 | -2,5 | 6,25 |
13 Гуманизм | 12,5 | 11 | 1,5 | 2,25 |
14 Терпимость к чужому мнению | 14 | 16 | -2 | 4 |
15 Стойкость | 15 | 4 | 11 | 121 |
16 Гибкость поведения | 16 | 18 | -2 | 4 |
17 Способность производить благоприятное впечатление | 17 | 13,5 | 3.5 | 12,25 |
13 Способность к творчеству нового | 18 | 17 | 1 | 1 |
Суммы | 171 | 171 | 0 | 487,5 |
Как видно из Табл. 3.2, оценки избирателей и индивидуальные показатели депутата варьируют в разных диапазонах. Отметим, что оценки избирателей были получены по 10-балльной шкале, а индивидуальные показатели депутата по 20-балльной шкале. Ранжирование позволит нам перевести обе шкалы измерения в единую шкалу, где единицей измерения будет 1 ранг, а максимальное значение составит 18 рангов.
Ранжирование проводим отдельно по каждому ряду значений. В данном случае начисляем большему значению меньший ранг, чтобы сразу можно было увидеть, на каком месте по значимости (для избирателей и для депутата) находится то или иное качество.
Результаты ранжирования представлены в Табл. 3.3. Качества перечислены в последовательности, отражающей эталонный профиль.