Домашнее задание к 17.04 №57.10, №57.12
В классе записать примеры из конспекта, обратить внимание на оформление!
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Метод интервалов
Решение неравенства методом интервалов, пояснение метода
Изложим метод интервалов на примере решения конкретного неравенства:
Решить данное неравенство означает найти все х, при которых неравенство выполняется.
Данный метод заключается в ом, что мы вводим функцию, стоящую в левой части, когда справа ноль.
Следует изучить данную функцию, ее свойства и интервалы знакопостоянства, после этого вернуться к решению неравенства.
Введенная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:
Найдем корни:
Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения – корни знаменателя. Функция может изменить свой знак только при переходе через корень числителя или корень знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.
|
|
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции
Чтобы определить знак функции на каждом интервале, необходимо взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:
На интервале функция имеет знак плюс.
На интервале функция имеет знак минус.
В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.
Обратим внимание на то, что функция не всегда меняет знак при переходе на соседний интервал.
Теперь мы можем вернуться к неравенству и получить ответ. Нас интересуют значения функции, меньшие либо равные нулю. Отсюда ответ:
При решении неравенств методом интервалов несложно получить решение такой задачи, как построение эскиза графика функции.
Построение эскиза графика функции, методика и основные приемы
Пример 1 – построить эскиз графика функции:
1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)
2. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции и :
Рис. 2. График в окрестностях корней
Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. В точке наоборот.
|
|
3. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции и :
Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ
Когда или , знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева, функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четверки, наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.
Согласно построенному эскизу, мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции (рис. 4).
Рис. 4. Эскиз графика к примеру 1
Решение примера
Рассмотрим следующую важную задачу – построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности (рис. 5). Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
Иногда можно встретить такую запись данного факта:
Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек
Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.
Следующий пример предостережет нас от типовых ошибок, в частности, от потери изолированного решения.
Пример 2 – решить неравенство:
ОДЗ:
Корни:
Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на выбранных интервалах:
Рис. 6. Интервалы знакопостоянства к примеру 2
Отметим, что в данном случае один из корней имеет четную степень, а именно , поэтому, проходя через ноль, функция не меняет знак.
Ответ:
Теперь построим эскиз графика функции по общей методике. Интервалы знакопостоянства уже определены (рисунок 8). теперь построим график в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ:
Рис. 7. График функции в окрестностях корней и точек разрыва
Рассмотрим поведение функции в окрестностях бесконечно удаленных точек.
Рис. 8. Эскиз к примеру 2