Если подынтегральную функцию можно представить как произведение сложной функции на производную (или функциональную часть этой производной), то замена
позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному интегралу, т.е.
если , то
Переход в подынтегральном выражении от записи к записи называют внесением множителя под знак дифференциала. Разумеется (и в этом главная трудность и новизна), нужно научиться в одном из множителей подынтегрального выражения узнавать производную от какой-либо другой его части (пользоваться таблицей производных "в обратную сторону").
Пример 4. Найти интегралы:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
Решение:
а) ;
Для того чтобы решить этот интеграл необходимо под дифференциалом получить
Замечая, что и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде
|
|
Произведем внесение под знак дифференциала. Для этого выпишем дифференциал:
(смотри формулу 11).
Более того,
Тогда
б) ;
Зная, что (см. формулу (10) таблицы интегралов), и узнавая в множителе (без множителя 3) производную : , можем написать:
.
в) ;
Зная, что , и, узнавая в множителе производную получим
.
г) ;
Зная, что (см. формулу (1) таблицы интегралов), и узнавая в множителе (без множителя 8) производную
, можем написать:
.
В простейших случаях, применяя следующие преобразования дифференциала их возможные комбинации и обозначая мысленно выражение в скобках за новую переменную, интегралы сводятся к табличным.
1.5 Интегрирование по частям
Теорема 1. Пусть функции и имеют непрерывные производные и , тогда
Если в целях краткости записи воспользоваться обозначением дифференциала:
, ,
то формула интегрирования по частям примет вид:
Переход от левой части формулы (15) к правой части оказывается полезен, если для произведения первообразная находится проще, чем для исходного произведения .
Применяя интегрирование по частям, нужно разбить подынтегральное выражение на два множителя и , причем так, чтобы, во-первых, по легко можно было найти , то есть по найти первообразную , а во-вторых, чтобы для интеграла в правой части формулы (14) метод отыскания первообразной был известен.
Таким образом, интегрирование по частям проводится в три этапа:
* Подынтегральное выражение разбивается на два множителя и .
* По находится (дифференцированием), а по находится (интегрированием).
|
|
Отметим, что при переходе от к ищется одна какая-либо первообразная без произвольной постоянной .
* Производится переход к правой части формулы (15) и находится интеграл
К числу интегралов, вычисляемых по частям, относятся, например, интегралы вида , где – многочлен.
Для интегралов вида за следует принять а за — соответственно выражения .
Для интегралов вида за принимаются соответственно функции а за — выражение
Для интегралов вида применяется двукратное интегрирование по частям и из полученного выражения определяется исходный интеграл. В этом случае безразлично, что именно принимается за и .
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно.
Пример 6. Найти интеграл:
Решение:
Положим
Найдем
Обычно эти преобразования записывают следующим образом
Пример 7. Найти интеграл:
Решение:
Пример 8. Найти интеграл:
.
Решение:
1.6 Интегрирование рациональных дробей
Пусть требуется проинтегрировать правильную рациональную дробь.
Определение 1. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называетсяотношение двух многочленов
Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе.
Если знаменатель правильной дроби разложен на множители первой степени вида , множители ой степени и множители второй степени вида с отрицательным дискриминантом , то дробь раскладывается на сумму простейших дробей. При этом:
* множителю знаменателя соответствует простейшая дробь ;
* множителю знаменателя соответствует сумма простейших дробей: ;
* множителю знаменателя, , соответствует простейшая дробь .
Для отыскания неизвестных коэффициентов в числителях применяется метод неопределенных коэффициентов.
· дробь представляется в виде суммы простейших дробей с неизвестными коэффициентами в числителях.
· эта сумма приводится к общему знаменателю (который совпадает со знаменателем исходной дроби).
· приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях числителя исходной дроби и числителя, полученного при приведении к общему знаменателю. Это дает систему линейных управлений для отыскания неизвестных коэффициентов.
· После того, как коэффициенты найдены, каждая простейшая дробь интегрируется стандартным способом.
Именно,
,
,
наконец,
находится путем выделения в числителе производной знаменателя, а затем выделения полного квадрата в знаменателе.
Пример 9. Найти интеграл:
.
Решение:
Множителю знаменателя соответствует простейшая дробь . Множителю соответствует сумма простейших дробей: . Таким образом,
Приводим сумму в правой части к общему знаменателю:
Таким образом,
.
Из равенства дробей c одинаковыми знаменателями вытекает равенство их числителей, а значит, равенство коэффициентов при одинаковых степенях :
Итак,
.
Пример 10. Найти интеграл:
.
Решение: Множителю знаменателя соответствует простейшая дробь . Множителю , имеющему отрицательный дискриминант, соответствует простейшая дробь . Следовательно,
Получаем систему уравнений:
.
1.7 Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена переменной также основана на инвариантности формул интегрирования и позволяет переходить к более простым интегралам.
Пусть переменная интегрирования заменяется функцией от новой переменной с непрерывной производной и . Тогда
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Ø Обратите внимание! В неопределенном интегралепосле операции интегрирования по новой переменной необходимо вернуться к исходной переменной .
|
|
Пример 5. Найти интегралы:
а) б)
в) г) .
Решение:
а)
Сделаем замену переменной Отсюда
и Тогда будем иметь
переходя к переменной , получим
б)
Сделаем замену переменной Следовательно,
и
Тогда получим
в) Интеграл найдем подстановкой Тогда и
Иногда вместо подстановки лучше выполнить замену переменной вида
г) . Полагая получаем
отсюда и
Если подынтегральная функция содержит , полезной оказывается подстановка
Þ
Пример 11. Найти интегралы:
a) ; б) .
Решение:
а)
.
б)
.
Для вычисления интеграла в пункте г) задачи 15 необходимо применить подстановку, которая называется универсальной тригонометрической подстановкой:
Если подынтегральная функция является рациональной функцией от , , то можно прийти к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки:
При этом:
; ; .
Пример 12. Найти интеграл:
.
Решение:
Применим подстановку:
.
Пример 13. Найти интеграл:
.
Решение:
В данной подынтегральной функции сделаем подстановку
.
Если подынтегральная функция содержит выражение , то полезной может оказаться подстановка
Пример 14. Найти интеграл:
.
Решение:
1.8 Контрольные вопросы по разделу «Неопределенный интеграл»
1. Неопределенный интеграл и его свойства. Теорема существования.
2. Таблица неопределенных интегралов.
3. Инвариантность формул интегрирования. Методы непосредственного интегрирования.
4. Интегрирование по частям для неопределенного интеграла.
5. Замена переменной в неопределенном интеграле.
6. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
7. Интегрирование рациональных функций.
8. Интегрирование тригонометрических выражений.
1.9 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Неопределенный интеграл»
|
|
Задание 1. Найти неопределенные интегралы.
1. 1) | 2. 1) |
2) | 2) |
3) | 3) |
3. 1) | 4. 1) |
2) | 2) |
3) | 3) |
5. 1) | 6. 1) |
2) | 2) |
3) | 3) |
7. 1) | 8. 1) |
2) | 2) |
3) | 3) |
9. 1) | 10.1) |
2) | 2) |
3) | 3) |
Задание 2. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.
1. 3. 5. 7. 9. | 2. 4. 6. 8. 10. |
2. определенный интеграл
2.1 Интегральная сумма и ее предел. Определенный интеграл
Пусть на отрезке определена функция .
Разобьем отрезок на произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: . Вычислим значение функции , а затем составим сумму .
Определение 1. Сумма вида называется интегральной суммой функции на отрезке , соответствующей данному разбиению.
Определение 2. Предел интегральной суммы при условии, что число частичных отрезков неограниченно увеличивается, а длина наибольшего из них стремится к нулю, называется определенным интегралом функции в пределах от до и обозначается
Теорема (условие существования определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, то есть предел существует и не зависит от способа разбиения промежутка интегрирования на частичные отрезки и от выбора точек при каждом таком разбиении.
2.2. Основные свойства определенного интеграла
где постоянная,
- Если при то
- Если наименьшее, а наибольшее значения функции на отрезке , то
- Теорема о среднем.
Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдется такая точка что
Число называется средним значением функции на отрезке
2.3 Правила вычисления определенных интегралов
При вычислении определенного интеграла следует пользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Эта формула дает удобное правило вычисления определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница:
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , а ее произвольная первообразная на этом отрезке, то
(т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования).
Пример 1. Вычислить определенные интегралы:
а) , б) .
Решение:
а)
Преобразуем подынтегральную функцию, используя известную формулу квадрата разности:
=
б)
Раскроем скобки и проинтегрируем
.
2.4 Интегрирование по частям
Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:
где символ обозначает разность
Применение формулы (21) мало чем отличается от применения соответствующей формулы для неопределенного интеграла. Поэтому мы ограничимся приведением примера.
Пример 2. Найти определенный интеграл:
Решение:
Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим откуда Тогда
2.5 Замена переменной в определенном интеграле.
Часто для вычисления интеграла полезно заменить переменную интегрирования новой переменной при помощи подстановки или При этом необходимо перейти от старых пределов интегрирования и к новым пределам и , которые определяются из уравнений , .
Замена переменной осуществляется по формуле
Эта формула справедлива, если непрерывная функция, а подстановка сама непрерывна и имеет непрерывную производную на отрезке для всех
Ø Обратите внимание! При проведении замены переменной в определенном интеграле следует изменять пределы интегрирования, при этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной .
Пример 3. Вычислить определенные интегралы:
а) , б) .
Решение:
а)
Воспользуемся заменой (14)
.
Тогда
б)
2.6 Приложения определенного интеграла