Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида
a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.
Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:
Учитывая, что и , получим:
Ответ:
Способ. Введение дополнительного аргумента
Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:
.
(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)
Введём дополнительный аргумент – угол такой, что
Тогда
Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.
Учтём, что . Тогда получим
0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим
Ответ: – arcsin 0,8 + +
8 способ. Уравнения вида Р
Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t2.
Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.
Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда
t2 = sin2x + 2sin x cos x + cos2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:
t + 2 (t2 – 1) – 1 = 0.
2 t2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, = .
|
|
sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =
Корней нет.
Ответ:
Способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.
Решить уравнение:
В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида , запишем систему, равносильную исходному уравнению:
Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos2x.
1 – cos x = 1 – cos2x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.
Условию удовлетворяют только решения
Ответ:
10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.
Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:
Решение системы
Ответ: