Пусть по результатам опыта построена точечная оценка параметра . Точечная оценка параметра дает лишь некоторое приближенное значение .
Возникает вопрос: насколько эта оценка точна и достоверна? Чтобы получить представление о точности и надежности оценки, используют интервальную оценку параметра.
Интервальная оценка параметра ( или ) признака генеральной совокупности имеет следующий вид:
или ,
где – наибольшее отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения, или предельная ошибка выборки(точность оценки, отклонение).
Очевидно, что это неравенство, определяющее попадание в указанный интервал, при заданной точности оценки верно лишь с какой-то вероятностью , которая называется доверительной вероятностью.
На практике обычно заранее задают доверительную вероятность , причем наиболее часто берут значения ; и .
Интервал называется доверительным интервалом.В качестве берут точечную несмещенную оценку , полученную по результатам выборки. Следовательно, задача состоит в том, чтобы по заданной величине найти Δ.
|
|
Чтобы получить интервальную оценку генеральной средней , нужно найти такую величину Δ, для которой
. (1.34)
Пусть известна генеральная дисперсия признака . Так как неравенство эквивалентно неравенству , а неравенство эквивалентно неравенству , то выражение (1.29) эквивалентно выражению
.
Здесь – случайная величина, и если признак распределен нормально, то тоже распределена нормально. Так как – несмещенная оценка , то .
Можно доказать, что если дисперсия признака равна , то дисперсия случайной величины , являющейся средним арифметическим одинаково распределенных случайных величин с дисперсией , равна , а среднее квадратическое отклонение случайной величины , следовательно, равно .
Тогда можно также показать, что
, (1.35)
где – функция Лапласа (прил. 1).
Отсюда следует, что для нахождения нужно решить уравнение .
Уравнение решается так. Обозначим и найдем по таблице значений функции Лапласа (прил. 1) такое , что .
Вычислим окончательно по следующей формуле
. (1.36)
Следовательно, доверительный интервал для доверительной вероятности имеет вид
. (1.37)
Такую оценку используют, когда объем выборки .
Если генеральная дисперсия неизвестна, то она часто заменятся ее несмещенной оценкой , хотя при небольших это ведет к существенному уменьшению доверительного интервала.
|
|
Доверительный интервал получается точнее, если при этом вместо взять параметр распределения Стьюдента, который можно найти в прил. 3 по известным значениям и .
Тогда доверительный интервал для генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии имеет вид
. (1.38)
Интервальной оценкой (с надёжностью ) среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака «по исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал
(1.39)
где находят из таблицы (прил. 4) по заданным и .