Тогда знакочередующийся ряд является сходящимся

Замечание. Признак Лейбница является лишь достаточным условием сходимости ряда. Поэтому, ссылаясь на признак Лейбница нельзя делать вывод относительно расходимости ряда. Это может случиться при невыполнении одного или обоих условий признака Лейбница. Если не выполняется условие , то расходимость ряда вытекает из теоремы необходимости, если же не выполняется условие , то данный рад нужно исследовать другими признаками.

§ 11. Знакопеременные ряды.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов. Из этого определения следует, что знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Теорема 11.1. (Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов) Пусть ряд , составленный из абсолютных величин членов ряда является сходящимся. Тогда сходящимся является и ряд .

Замечание. Обратное утверждение не верно, то есть из сходимости ряда не следует сходимость ряда .

Следствие 11.1. Пусть ряд является расходящимся, тогда ряд , составленный из абсолютных величин членов ряда , является расходящимся.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда.

Как было отмечено в теоремы 11.1, из абсолютной сходимости ряда вытекает его сходимость.

Ряд называется условно сходящимся, если он является сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.

В следующих теоремах приводятся важные свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Теорема 11.2. (Теорема Дирихле) Пусть ряд является абсолютно сходящимся и его сумма равна . Тогда все ряды, получаемые из данного ряда перестановкой членов, являются абсолютно сходящимся, и их сумма равна .

Теорема 11.3. (Теорема Римана) Пусть ряд является условно. Тогда для любого наперед заданного числа , включая случаи и , можнотак переставить члены этого ряда, чтобы сумма ряда, получившегося после перестановки, оказалась равной .