Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую величину высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.
Напомним, что функция называется дифференцируемой
в точке, если ее приращение в этой точке можно представить в виде
,
Слагаемое в данной формуле называют главной линейной частью приращения функции.
Дифференциал функции в точке представляет собой главную, линейную относительно часть бесконечно малого приращения функции в этой точке .
Учитывая, что равно производной , вычисленной в точке , предыдущую формулу можно записать в виде .
Пусть , тогда . Дифференциалом независимой переменной является ее приращение . Таким образом, получаем .
Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
2.4.2 Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной MS к графику этой функции в точке , тогда как приращение функции есть приращение ординаты самой функции в точке , соответствующее приращению аргумента (рис. 4.2).
|
|
Pис. 4.2