Частные производные, определенные в пункте 11.1.1, называются также частными производными первого порядка от функции .
Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
; ;
;
и т.д.
Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны: .
Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е. .
Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: , .
Если имеет непрерывные частные производные, то имеем
;
Дифференцирование сложных функций
Пусть , где и . Тогда производная по переменной t функции вычисляется по формуле .
Если , где , то .
Если , где , , то
, .