1. Сформулируйте гипотезу де Бройля. Запишите формулу для длины волны де Бройля.
2. В электростатическом поле с разностью потенциалов U ускоряются протон и a-частица. Массы и заряд этих частиц связаны соотношениями: m a = 4 m р, q a = 2 q р. Чему равно отношение l р /la длины волны де Бройля протона к длине волны де Бройля a-частицы?
3. Запишите известные Вам соотношения неопределенностей Гейзенберга. Каков их физический смысл?
4. Координату электрона массой можно установить с неопределенностью D x = 0,1 мм. Какую минимальную неопределенность скорости будет иметь электрон?
5. Запишите условие нормировки для волновой функции. В чем состоит его физический смысл?
Лекция 15
Основные понятия и законы, которые должны быть освоены в ходе лекции: уравнение Шредингера, энергетический спектр, основное и возбужденные состояния микрочастицы, потенциальная яма, потенциальный барьер, туннельный эффект, коэффициент прозрачности барьера.
Уравнение Шредингера
В классической механике схема решения задачи о движении частицы выглядит следующим образом: задаются координаты и импульс частицы в начальный момент времени, записывается второй закон Ньютона, с помощью которого и формул кинематики, в итоге получают координаты и импульс частицы в конечный момент времени.
Такую схему решения задачи о движении микрочастицы в квантовой механике применить нельзя, так как одновременно невозможно точно задать координаты и импульс частицы. В этом случае состояние микрочастицы однозначно определяется заданием ее волновой функции, поэтому решается уравнение для этой волновой функции и, таким образом, находится конечное состояние частицы – ее волновая функция в момент времени t (рис. 5.5, б).
Впервые основное уравнение квантовой механики – уравнение для волновой функции было записано в 1926 г. Э. Шредингером [4] и получило название уравнения Шредингера.
Чаще всего рассматривается движение микрочастицы в стационарных (не зависящих от времени) силовых полях. В таких полях потенциальная энергия частицы со временем не изменяется и зависит лишь от координат , а полная энергия частицы остается постоянной . Волновую функцию для частицы в этом случае можно представить в виде произведения временной ее части на координатную часть [4]
. (5.10)
Для координатной части волновой функции уравнение Шредингера (его называют стационарным уравнением Шредингера) примет вид
. (5.11)
В этом уравнении – постоянная Планка, деленная на ; m – масса частицы; – оператор Лапласа.
Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики, оно не выводится, его справедливость проверяется сопоставлением полученных из него результатов с опытными данными [4]. Его роль в квантовой механике такая же, как – уравнения Ньютона в классической механике.
Решая уравнение Шредингера, можно найти не только волновые функции, но и энергетический спектр частицы и вероятность ее обнаружения в различных точках пространства. Эти сведения используются для анализа поведения частицы в потенциальном поле определенного вида.
Рассмотрим некоторые простейшие задачи квантовой механики, имеющие точное решение. Такие задачи играют важную роль при анализе экспериментальных данных.