Четырехугольник. Вписанная и описанная окружности

Геометрия. 9-б класс. 23.04.2020. 9-а класс. 24.04.2020.  Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы

Тема урока: Вписанные и описанные многоугольники.

1. Определение: центр вписанной и описанной окружности

Теория вписанных окружностей базируется на свойстве биссектрисы угла, а именно на свойстве точек биссектрисы быть равноудаленными от сторон угла.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.

Теория описанных окружностей базируется на свойстве серединного перпендикуляра, а именно на свойстве точек серединного треугольника быть равноудаленными от концов отрезка.

Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

2. Теорема о соотношении для отрезков диагоналей

Четырехугольник. Вписанная и описанная окружности

Рассмотрим окружность. Пусть она описана около четырехугольника.

Рассмотрим точку M внутри окружности и проведем 2 хорды, пересекающиеся в точке M.

Получили вписанный четырехугольник ABCD.

Теорема:

AM* CM= BM* MD

Доказательство:

т.к.:

1.∠BAM опирается на дугу ∠CDM также опирается на дугу По теореме о вписанном угле эти углы равны.

2.∠ABM опирается на дугу ∠DCM также опирается на дугу По теореме о вписанном угле эти углы равны.

Т.к. треугольники подобны, можем выписать соотношение подобия для сходственных сторон (тех сторон, которые лежат против равных углов треугольников):

Или, что то же самое:

3. Признак описанной окружности вокруг четырехугольника

Теперь мы хотим понять, каков должен быть четырехугольник, чтобы около него можно было описать окружность.

Вспомним, что около треугольника можно всегда описать окружность, а вот с четырехугольником все сложнее: 4-я точка может лежать как внутри окружности, так и вне ее.

Признак описанной окружности вокруг четырехугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна

Доказательство необходимости:

Пусть . Он опирается на дугу

Противоположный ему угол Он опирается на дугу

Но

4. Признак вписанной окружности в четырехугольник

Рассмотрим описанный четырехугольник.

Центр окружности лежит на пересечении биссектрис.

Из центра окружности можно опустить перпендикуляры на стороны, а затем отметить равные отрезки касательных:

Как можно заметить из рисунка, суммы противоположных сторон равны. Это и есть признак.

Признак вписанной в четырехугольник окружности:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны, т.е. AB+ CD= BC+ AD.

Действительно, x+ y+ z+ u= y+ z+ x+ u.

5. Вписанная и описанная окружность в правильный n-угольник

Рассмотрим правильный n-угольник.

Дано: сторона правильного n-угольника Найти: r и R.

В правильном n-угольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Опустим из точки O перпендикуляр OM. Тогда:

OA= OB= R, OM= r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMB.