Закон сложения дисперсии

Тема 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Если статистическая совокупность разбита на несколько групп по одинаковому признаку, то средняя величина и дисперсия могут быть определены не только для всей совокупности, но и для отдельной её части. При этом необходимо учитывать, что вариация признака в целом по совокупности зависит как от вариации признака внутри каждой группы, так и от вариации групповых средних, т. е. от межгрупповой вариации признака. В зависимости от этого можно выделить межгрупповую и внутригрупповую вариацию. А, следовательно, рассчитать среднюю величину и дисперсию, как межгрупповую, так и внутригрупповую.

В зависимости от всех условий в данной совокупности, определяют общую дисперсию, которая зависит от этих условий:

где - общее среднее для всей изучаемой совокупности, т. е. среднее для всех групп, входящих в совокупность.

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счёт всех факторов, действующих в данной совокупности.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию признака изучаемой совокупности, которая возникает под влиянием фактора, положенного в основу группировки.

Межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость групповых средних около общей средней:

где - средняя величина признака по отдельным группам;

- частота отдельных групп.

Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает внутригрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака х от частной средней :

Для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выражать средняя из внутригрупповых дисперсий, которая рассчитывается как средняя арифметическая из внутригрупповых дисперсий:

Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе совокупности. Данная вариация возникает в зависимости от влияния других факторов, которые не учитываются при группировке.

Вид дисперсии	Формула для расчёта	Характеристика
общая дисперсия		отражает вариацию признака за счет всех условий (факторов), действующих в данной совокупности
межгрупповая дисперсия		отражает вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки
средняя из внутригрупповых дисперсий		отражает случайную вариацию, обусловленную неучтенными факторами и не зависящая от признака-фактора, положенного в основание группировки

k - число групп;

f_j – число единиц в j -ой группе;

- частная средняя по j -ой группе;

- общая средняя по совокупности единиц.

- внутригрупповая дисперсия.

Между общей дисперсией и средней из групповой и межгрупповой дисперсиями существует взаимосвязь:

Таким образом, общая дисперсия складывается из двух слагаемых: первое – средняя из внутригрупповых дисперсий – измеряет вариацию внутри частей совокупности, второе – межгрупповая дисперсия – вариацию между средними этих частей.

Это правило известно как закон сложения дисперсий, его автором является Вильгельм Лексис (1837-1914), немецкий статистик и экономист.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсий. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации (η²) и показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторного:

Он показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Пример 1.

Определить групповую дисперсию, среднюю из групповых, межгрупповую, общую дисперсию по данным таблицы:

Производительность труда рабочих двух бригад

1				2
№	Изгот. деталей			№	Изгот. деталей
1 2 3 4 5 6	13 14 15 17 16 15	-2 -1 0 2 1 0	4 1 0 4 1 0	7 8 9 10 11 12	18 19 22 20 24 23	-3 -2 1 -1 3 2	9 4 1 1 9 4
	90		10		126		28