Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины X- числа появлений события A в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью р или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:
P(X=m)=
0 | 1 | 2 | … | k | … | |
… | … |
Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:
M(X)=np,
D(X)=npq,
Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р<0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:
P(X=m)=Pn(m)= где λ,=np
Тогда говорят, что случайная величина X - распределена по закону Пуассона.
Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.
Пример: Составить закон распределения случайной величины Х-числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X),D(X), (Х) этой величины.
|
|
Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.
Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т.е. Р(А)=р=1/6, тогда =l-p=q=5/6, где
- «выпадения не пятерки».
Случайная величина X может принимать значения: 0;1;2;3.
Вероятность каждого из возможных значений X найдем по формуле Бернулли:
Р(Х=0)= (0)= =1 *(1/6)0*(5/6)3=125/216;
Р(Х=1)= (1)= =3 *(1/6)1*(5/6)2=75/216;
P(X=2)=P3(2)= =3 *(1/6)2*(5/6)1=15/216;
P(X=3)=P3(3)= =1 *(1/6)3*(5/6)0=1/216;
T.o. закон распределения случайной величины X имеет вид:
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
р | 125/216 | 75/216 | 15/216 | 1/216 |
Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины X:
M(X)=np=3*(1/6)=1/2
D(X)=npq=3*(1/6)*(5/6)=5/12
Пример: Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:
а) 5 бракованных;
б) хотя бы одна бракованная.
Решение: Число n= 1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:
Найдем λ=np=1000*0.002=2
А)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):
Б)Найдем вероятность того, что, будет хотя бы одна бракованная деталь.
Событие А - «хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию - «все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000 (0)=1- =1-0,13534=0,865.
|
|