1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Если , то последовательность уn= qn расходится.
Теоремы о пределах последовательностей.
1.
2. Если
3. Если , то
4. Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:
5. Предел суммы равен сумме пределов:
6. Предел произведения равен произведению пределов:
7. Предел частного равен частному пределов: , где с≠0.
8. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Нахождение пределов последовательности:
Найти предел последовательности:
а) хn = б) хn = в)
Решение: а) применив правило «предел произведения», получим:
б) применим правило «предел суммы» и получим:
в) в подобных случаях применяют искусственный прием: делят числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n2. Имеем: (здесь мы применили правило «предел дроби»).
Пределы функций. Нахождение пределов функции в точке и на бесконечности.
Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у = f(x) при заданном изменении аргумента.
Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х =х0, за исключением, быть может, самой точки х0.
Число А называется пределом функции f(х) в точке х0, если для любого числа >0 найдется такое положительное число , что для любого х х0, удовлетворяющего неравенству | х - хо | < , выполняется соотношение | f(x) - А | <
То, что функция f(x) в точке х0 имеет предел, равный А, обозначают следующим образом:
Геометрически существование данного предела означает, что каково бы ни было >0, найдется такое число , что для всех х, заключенных между х0 + , и х0 - (кроме, быть может, самой точки хс), график функции у = f(x) лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А + и у = А- (рис.1)
Рисунок 1
Таким образом, понятие предела функции дает возможность ответить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значения аргумента стремятся к х0
Число А называют пределом функции f(x) при х, стремящимся к х0, если разность f(x) - А по абсолютной величине есть величина бесконечно малая.