Простейшая одноканальная модель

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид:

, где λ – интенсивность поступления заявок;

Плотность распределения длительностей обслуживания:

, где μ – интенсивность (скорость) обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие.

1-й случай. Поток заявок поступает в систему без очереди. Так называемая система с отказами.

Система имеет два состояния:

S ₀ – система не занята;

S ₁ – система занята.

Переход из состояния S₀ в состояние S₁ происходит с интенсивностью λ, из состояния S₁ в состояние S₀ – с интенсивностью μ.

Возможны два подхода к решению задачи.

1-й путь. С помощью уравнений Колмогорова

Здесь на самом деле только одно уравнение, т. к.

Начальное условие p₀(0)=0– канал свободен.

Линейное неоднородное уравнение 1-го порядка (см. лекцию 2).

Решение имеет вид:

.

Видно, что данное решение имеет стационар

– вероятность того, что заявка будет обслужена.

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность Р₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы.

Действительно, Р₀(t) – вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту tt, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно Р₀(t).

Вероятность того, что в обслуживании будет отказано .

Абсолютная пропускная способность канала

.

2-й путь. Статистическое моделирование с использованием метода Монте-Карло.

На практическом занятии рассмотрим этот путь и сравним результаты моделирования с теоретическим решением.