Задача №3. Моделирование геотермического распределения с учетом изменения температуры на поверхности по гармоническому закону

 

В природе многие процессы периодические. Например есть колебания температуры воздуха с периодом 1 сутки, ночью в среднем холоднее, днем – теплее. Есть сезонные колебания с периодом 1 год.

Любые периодические изменения температуры на поверхности можно представить как серию гармонических колебаний с одинаковой частотой, но с различными амплитудами и сдвигами по фазе. Чтобы описать влияние на геотерму колебаний температуры на поверхности Земли по гармоническому закону, рассмотрим следующую задачу

 

.               (3.44)

Здесь

 

.                                     (3.45)

 

θ – период колебаний, ν – частота.

Данная задача решается аналитически. Воспользуемся решением для произвольной переменной температуры поверхности (3.41). Подставим ψ (t) =Acosωt (3.41). Получим для больших времен (t→∞)

 

.        (3.46)

 

Из (3.46) следует, что установившиеся колебания температуры на глубине z совершаются с той же частотой ω, но они сдвинуты по фазе относительно колебаний температуры на поверхности.

Амплитуда колебаний убывает с глубиной по экспоненциальному закону

 

                                   (3.47)

 

или

,                                (3.48)

 

Здесь

 

.                                     (3.49)

 

Тогда видно, что решение (3.46) представляет собой уравнение волны.

            (3.50)

 

Графиком данного решения будет геотерма в виде волны, амплитуда которой угасает по мере увеличения глубины.

 

Рис. 3.7. Нарушенная геотерма

 

Скин-слой суточных и сезонных колебаний температуры

Если записать волновое число k через длину волны λ, то

 

.                                     (3.51)

 

Из сравнения с (3.49) следует, что

 

.                                     (3.52)

 

Подставив (3.51) в (3.47), получим следующее выражение

 

.                             (3.52)

 

Амплитуда колебаний температуры убывает с глубиной по экспоненте.

При z = λ, выражение (3.52) будет иметь следующее значение:

 

.           (3.53)

 

Слой земной коры (z = λ), на котором амплитуда температурных колебаний уменьшится в 500 раз, называется скин-слоем.

Для суточных колебаний при a =1 мм²/с, θ =24 часа скин-слой составит ≈1 м. Для сезонных колебаний при a =1 мм²/с, θ =365 дня скин-слой составит ≈19 м.

Скин-слой суточных колебаний температуры называется глубиной нейтрального слоя.