Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида  (1) называется однородным уравнением.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=ux, где u – новая искомая функция. Дифференцируя равенство y=ux, получим  (2).

Подставив выражения у и  в уравнение (1), имеем

откуда

(3)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдя общее решение уравнения (3), получаем общее решение данного уравнения (1), заменив u на у/х.

Пример: Найти I) общее решение уравнения

                      II) частное решение данного уравнения, удовлетворяющий заданным начальным условиям: у(2)=0

Решение:

I) Разрешим уравнение относительно производной : .

Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения на х², получим

(*)

Замены: u=y/x и  в уравнение (*).

Уравнение (*) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

 Û   Û    откуда

Интегрируя это уравнение, получим  Û т.е. х=С

Заменяя в последнем равенстве u на y/x, окончательно получаем общее решение данного уравнения х=С

II) Используя начальные условия у(2)=0, подставляем в общее решение данного уравнения х=С , заданные значения переменных х=2, у=0 – тем самым определяем значение произвольной постоянной С: 2=С  Û С= 2.

Итак, искомое частное решение х=2