Расчет любой разветвленной цепи можно произвести, пользуясь двумя правилами Кирхгофа.
Первое правило Кирхгофа (для узлов цепи):
(44)
где – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле: сила тока, текущего к узлу, входит в уравнение (44) со знаком «+», а тока, текущего от уз-ла, – со знаком «–».
Второе правило (для замкнутых контуров цепи):
(45)
где – номер неразветвленного участка контура, который характеризуется током силой , полным сопротивлением и падением напряжения ;
– алгебраическая сумма ЭДС контура: если направления обхода контура и действия сторонних сил внутри источника совпадают, то ЭДС входит в уравнение (45) со знаком «+», если противоположны, – со знаком «–»;
– алгебраическая сумма падений напряжения в контуре: если направления обхода контура и тока на участке совпадают, то сила тока входит в уравнение (45) со знаком «+», если противоположны, – со знаком «–».
|
|
При решении задач на расчет разветвленной цепи необходимо:
1) произвольно выбрать и указать стрелкой направление тока на каждом неразветвленном участке цепи;
2) для цепи, содержащей N узлов, записать первое правило Кирхгофа для узлов (например, если , то для одного любого узла);
3) определить число независимых уравнений, которые могут быть составлены на основе первого и второго правил Кирхгофа, оно равно числу неразветвленных участков цепи (числу различных токов);
4) определить число независимых замкнутых контуров в цепи: (например, если , а , то );
5) найти любые М независимых контуров (например, если , а , то любые два контура);
6) произвольно выбрать направление обхода каждого взятого контура (по ходу часовой стрелки или против него);
7) для каждого взятого контура записать второе правило Кирхгофа;
8) решить полученную систему уравнений (она имеет решение, если число независимых уравнений равно числу неизвестных), например, методом Гаусса или методом Крамера.
Если значение силы тока на каком-то участке окажется отрицательным, то в действительности ток течет на этом участке в противоположном направлении.
4.2.2. Примеры решения задач
З а д а ч а 18. В схеме на рис. 16 В, В, В, Ом, Ом, Ом, внутренние сопротивления источников тока пренебрежимо малы. Определить силы токов, текущих через сопротивления.
Дано: В; В; В; Ом; Ом; Ом. Найти: | Решение. Рис. 16 |
Для расчета с помощью правил Кирхгофа выберем направление тока на каждом неразветвленном участке цепи (они указаны стрелкой на схеме рис. 16). Запишем первое правило Кирхгофа для любого из двух узлов, например, для узла А:
|
|
(46)
Сила тока входит в уравнение со знаком «+», так как этот ток втекает в узел, силы тока – со знаком «–», так как эти токи вытекают из узла.
Для данной цепи на основе первого и второго правил Кирхгофа может быть составлено три независимых уравнения, так как она содержит три неразветвленных участка. Следовательно, с учетом уравнения (46) достаточно рассмотреть два независимых контура, например, контуры AGBDА и AFBGА. Выбранные произвольно направления обхода этих контуров («по часовой стрелке») указаны на схеме. Уравнения, составленные по второму правилу Кирхгофа для контуров AGBDА и AFBGА соответственно, имеют вид:
(47)
(48)
ЭДС входит в уравнение (47), а – в уравнение (48) со знаком «+», так как направления обхода контуров и действия сторонних сил внутри источника на соответствующих участках совпадают (см. рис. 16). ЭДС входит в уравнение (47), а – в уравнение (48) со знаком «–», так как направления обхода контура и действия сторонних сил противоположны. Силы тока и входят в уравнение (47), а сила тока – в уравнение (48) со знаком «+», так как направления обхода контура и тока на соответствующих участках совпадают. Сила тока входит в уравнение (48) со знаком «–», так как направления обхода контура и тока на соответствующем участке противоположны.
Подставляя известные численные значения сопротивлений участков цепи и ЭДС источников тока в уравнения (46) – (48), получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
(49)
Решение такой системы дается формулами Крамера:
(50)
где – определитель системы (49); – определитель при неизвестном
Определители вычисляются по значениям коэффициентов системы (49):
; ;
; .
Подставив в формулу (50) значения соответствующих определителей, получим: А, А, А.
Заметим, что при решении системы (49) методом подстановок удобно выразить силы тока через используя соответственно второе и третье уравнения системы:
; (51)
(52)
и, подставив выражения в первое уравнение: найти силу тока После подстановки значения А в соотношения (51), (52) вычисляются значения сил тока .
Ответ: А; А; А.
Библиографический список
1. Т р о ф и м о в а Т. И. Краткий курс физики / Т. И. Т р о ф и м о в а. М., 2012. 352 с.
2. Д е т л а ф А. А. Курс физики / А. А. Д е т л а ф, Б. М. Я в о р с к и й. М., 2014. 720 с.
3. С а в е л ь е в И. В. Курс общей физики: В 5 т. Т. 2. Электричество и магнетизм / И. В. С а в е л ь е в. СПб, 2011. 348 с.
4. Практикум по физике. Часть 2. Электричество и магнетизм. Колебания: Методические указания к решению задач по физике / Т. А. А р о н о в а, С. В. Вознюк и др. / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2014. 40 с.
5. К р о х и н С. Н. Контрольная работа № 2 по физике для студентов заочного факультета: Методические указания к решению задач и выполнению контрольных работ для студентов заочного факультета / С. Н. К р о х и н, Ю. М. С о с н о в с к и й / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2012. 36 c.
Учебное издание
КУРМАНОВ Рамиль Султангареевич, ТОДЕР Георгий Борисович
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Учебно-методическое пособие
Редактор Н. А. Майорова
***
Подписано в печать 13.10.2016. Формат 60 ´ 84 1/16.
Офсетная печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,7. Уч.-изд. л. 1,9.
Тираж 800 экз. Заказ .
|
|
**
Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа
Типография ОмГУПСа
*
644046, г. Омск, пр. Маркса, 35