Пусть плоская монохроматическая (гармоническая) волна с длиной и периодом распространяется в направлении оси с (фазовой) скоростью Тогда уравнение, описывающее колебания точек такой волны (уравнение бегущей волны), имеет вид: .
Разность фаз гармонической волны в двух точках с координатами и
.
Рис. 6 |
В плоской монохроматической электромагнитной волне, распространяющейся вдоль оси в однородной изотропной среде, направления колебаний векторов напряженностей электрического и магнитного полей в любой момент времени перпендикулярны направлению распространения волны (рис. 6). Законы колебаний проекций векторов и во всех точках с координатой имеют вид:
;
и связаны между собой соотношением: . Частоты и фазы колебаний напряженности электрического и магнитного полей плоской монохроматической электромагнитной волны одинаковы в любой момент времени. Максимальная скорость распространения электромагнитных волн – их скорость в вакууме, равная скорости света в вакууме: м/с.
|
|
П р и м е р 17. В упругой среде вдоль оси распространяется плоская гармоническая волна от источника, совершающего колебания по закону: где мкм; с-1; Скорость распространения волны 75 м/с. В начальный момент времени смещение источника колебаний от положения равновесия имело максимальное по модулю отрицательно значение. Найти: 1) волновое число; 2) длину волны; 3) скорость колебаний частиц, расположенных на расстоянии 1125 м от источника спустя 15 с от начала колебаний; 4) разность фаз колебаний двух точек, лежащих на одном луче, до которых волна доходит соответственно через 24 и 33 c от начала колебаний источника.
Дано: м; с-1; ; м/с; м; с; с; с. Найти: | Р е ш е н и е. Волновое число связано с циклической частотой колебаний, скоростью и длиной волны соотношением: (6.1) Отсюда длина волны (6.2) Уравнение плоской бегущей в направлении оси волны с учетом выражения (6.1) имеет вид: . (6.3) |
Скорость колебаний частиц в любой точке волны можно найти, продифференцировав закон (6.3):
(6.4)
Следовательно, скорость колебаний частиц в точке волны с координатой в момент времени определяется равенством:
. (6.5)
За время волна, движущаяся с постоянной скоростью, достигает точки с координатой
(6.6)
Отсюда
(6.7)
Фаза волны в рассматриваемом случае . Следовательно, в любой фиксированный момент времени разность фаз колебаний в точках с координатами и можно вычислить по формуле:
|
|
(6.8)
Если подставить в формулу (6.1) значения координат колеблющихся точек (6.3), то получим расчетную формулу для разности фаз:
. (6.9)
Подставляем в выражения (6.1), (6.2), (6.5) и (6.9) численные данные:
м-1;
м;
м;
рад, следовательно, эти точки колеблются в одной фазе.
О т в е т: , м-1;
, м;
, м;
, , т. е. точки колеблются в одной фазе.
П р и м е р 18. Плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси в однородной изотропной непроводящей немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью, равной 2,3. Частота, амплитуда и начальная фаза колебаний напряженности магнитного поля соответственно равны 4,1·107 Гц, 7,8·103 А/м и Найти: 1) длину волны в вакууме и в данной среде; 2) напряженность электрического поля в точках, расположенных на расстоянии 3,2 м от источника, в момент времени, равный половине периода.
Дано: ; ; Гц; А/м; ; Ф/м; Гн/м; м/с; м; Найти: ; ; . | Р е ш е н и е. Длина волны связана с частотой и скоростью распространения соотношением: . (6.10) Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме , в среде – , (6.11) поэтому значения длины волны в вакууме и в среде вычисляются по формулам: |
; . (6.12)
Подставив в соотношения (6.12) численные данные, получим:
м; м.
Напряженность электрического поля (см. рис. 6), где
. (6.13)
Амплитуду колебаний напряженности электрического поля найдем, пользуясь соотношением :
. (6.14)
Циклическую частоту и волновое число найдем, пользуясь соответствующими определениями и формулой (6.11):
; (6.15)
. (6.16)
С учетом выражений (6.14) – (6.16) формула (6.13) принимает вид:
. (6.17)
Подставив в соотношение (6.17) численные данные, получим при (с учетом равенства ) и :
МВ/м.
О т в е т: , м;
, м;
МВ/м.