Задача 2
Задан тетраэдр с вершиной и основанием . Точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра . Обозначены векторы , , , , и . Выпишите все пары равных векторов из обозначенных на рисунке. Определите вид четырехугольника .
Рассмотрим чертеж (рис. 6):
Рис. 6. Тетраэдр
Для начала рассмотрим четырехугольник без учета векторов. Отметим, что и как средняя линия треугольника . Аналогично и как средняя линия треугольника . Имеем:
по свойству транзитивности.
Так, в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, нам известен соответствующий признак: если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник – параллелограмм. Имеем: – параллелограмм.
Теперь мы можем заключить равенство и параллельность отрезков и , причем как сторон параллелограмма, так и средних линий для треугольников и соответственно.
Перейдем к равенству векторов:
и , т. к. противоположные стороны параллелограмма принадлежат параллельным прямым (векторы коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине.
, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине (точка – середина ребра ).
, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны), противонаправлены и длины их равны (точка – середина ребра ).
Итак, мы ввели понятие вектора в пространстве, рассмотрели основные определения, касательно векторов в пространстве, рассмотрели равенство векторов и длины векторов в наиболее распространенных геометрических фигурах – прямоугольном параллелепипеде и тетраэдре.
Домашнее задание
В заданном параллелепипеде выразить через векторы и векторы :
Рис. 7. Параллелепипед
Постройте:
-пару равных векторов;
-пару коллинеарных векторов;
-пару неколлинеарных векторов, равных по модулю;
-пару ненулевых векторов;
В заданном тетраэдре ; ; точки и – середины сторон и соответственно. Выразить через векторы и все векторы, которые можно построить на ребрах тетраэдра:
Рис. 8. Тетраэдр