Учащиеся повторяют определение в парах и вслух. Учитель демонстрирует фрагмент презентации о механическом смысле производной, проговаривают, что применяется практически при решении задач на прямолинейное движение и равноускоренное(слайд 12).
Задание 1. Сегодня мы с вами решим 2 задачи (слайд 13)
Задача 1 Лифт после включения движется по закону s(t) = t² + 2t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды.(12 м/с)
Задача 2. Лыжник, спускаясь с горы, движется по закону s(t) = 0,5t² - t. Найти скорость и ускорение лыжника в момент времени t= 3 с, если расстояние измеряется в метрах. Какое это движение? (v(3) = 2 м/с;
а = 1 м/с; равноускоренное движение)
Задание 2. Класс делится на 4группы и каждая получает задание по своей профессии(слайд 14):
«Конструкторы»
1. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 10 см масса куска стержня АС длиной l определяется по формуле m (l) = 4l2 + 3l. Найдите линейную плотность стержня в середине отрезка. Решение
ṗ (l) = m΄ (l) = 8l + 3; ṗ (5) = 8∙5 + 3 = 43 (г/см)Линейная плотность в точке С есть производная по l от переменной массы m (l).
|
|
Ответ: 43 (г/см)
«Электрики»
2. Количество электричества, прошедшего через проводник начиная с момента t = 0, q (t) = 2 t 2 + 3 t + 1. Найдите силу тока в конце пятой секунды.
Решение
I (t) = q΄ (t) = 4 t + 3 (A);
I (5) = 4∙5 + 3 = 23 (A).
Ответ: 23 А.
«Работники теплосети»
3. Количество тепла Q, необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 °С до t °С, определяется по формуле Q (t) = t + 0,00002 t 2 + 0,0000003 t 3. Вычислите теплоемкость воды для t = 100 °С.
Решение
C (t) = Q ΄(t) = 1 + 0,00004 t + 0,0000009 t 2;
Q΄ (100) = 1 + 0,004 + 0,009 = 1,013 (Дж).
Теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре.
Ответ: 1,013 (Дж).
«Диспетчеры»
4. Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t2 (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с.
Решение
v (t) = s΄ (t) = 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) = 2 (м/с2)
v (3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с).
Ответ: 8 м/с; 2 м/с2.
Проверяют по карточкам с ответами, выставление баллов /взаимооценка/
Y. Задание на дом: 1) задание для каждой группы без того, которое было решено на уроке; 2) задание на перспективу: создание проекта «Применение производной»
Вопросы:
1) Какие темы мы повторили на уроке?
2) Какие типовые задачи решили?
3) С какими науками связано понятие производной?
4) Что узнали нового на уроке?
5) Что понравилось на уроке?
6) Что не понравилось?
Урок по теме “ Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. ”
Практическая работа.
Опорный конспект:
1. Определение арифметической прогрессии.
(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).
|
|
2. Формула n -го члена арифметической прогрессии
( )
3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
( или )
4. Определение геометрической прогрессии.
(Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,
каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на
одно и то же число).
5. Формула n -го члена геометрической прогрессии
( )
6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
()
7. Какие формулы вы еще знаете?
(, где ; ;
; , )
Задания
1. Арифметическая прогрессия задана формулой an = 7 – 4n. Найдите a10. (-33)
2. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите a4. (4)
3. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите a17. (-35)
4. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите S17. (-187)
5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член.
6. Для геометрической прогрессии найдите n -й член.
7. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b4. (4)
8. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b1 и q.
9. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите S5. (62)
III. Изучение новой темы (демонстрация презентации).
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.
Например, последовательность площадей квадратов:
. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.
при .
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Фронтальная работа.
Определение:
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. .
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Задача
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:
; .
Решение:
. Найдем q.
; ; ; .
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
|
|
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .
Если n неограниченно возрастает, то
или . Поэтому , т.е. .
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S1, S2, S3, …, Sn, ….
Например, для прогрессии ,
имеем
Так как
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле .