В тех точках, в которых дифференцируемы функции у = f (х) и у = g (х), такжеявляется дифференцируемой функция у = f (х) g (х), причем для всех таких точек выполняется равенство
Также принята упрощенная запись:
Следствие 1.
В тех точках, в которых дифференцируема функции у = f (х), такжеявляется дифференцируемой функция у = k f (х),где k – некоторое число, причем для всех таких точек выполняется равенство
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Также принята упрощенная запись:
Следствие 2.
В тех точках, в которых дифференцируемы функции у = f (х) и у = g (х), такжеявляется дифференцируемой функция у = f (х) - g (х), причем для всех таких точек выполняется равенство
Производная частного
В тех точках, в которых функции у = f (х) и у = g (х) дифференцируемы и значение функции g не равно нулю, функция , такжеявляется дифференцируемой, причем для всех таких точек выполняется равенство
Упрощенная запись:
|
|
Пример 1. Найдите производную функции:
1) у =
Решение. Пользуясь теоремой о производной суммы и следствием из теоремы о производной произведения, получаем:
2)
Решение.
По теореме о производной произведения получаем:
3)
Решение.
4)
Решение.
По теореме о производной частного получаем:
Используя теорему о производной частного самостоятельно доказать, что
Производная сложной функции
Найти производную сложной функции можно с помощью следующей теоремы.
Если функция t=g(x) дифференцируема в точке , а функция y=f(x) дифференцируема в точке ,где ,то сложная функция является дифференцируемой в точке ,причем
Пример 2.
Найдите значение производной в точке :
1)
Решение
I - способ оформления данной задачи
Данная функция является сложной функцией , где
Поскольку , то по теореме о производной сложной функции можно записать:
II - способ оформления данной задачи