№Вар | λ1 | λ2 | λ3 | u1 | u2 | u3 |
14 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
Решение:
Подставим Значения из таблицы и упростим уравнения.
Для составления матриц этой системы уравнений и автоматизации процесса решения, запишем ее в следующем виде:
Таким образом в этой системе имеем матрицу А:
2 | -4 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | |
1 | 0 | -5 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | |
1 | 0 | 0 | -5 | 2 | 2 | 0 | 0 | |
А = | 0 | 1 | 0 | 2 | -5 | 0 | 0 | 2 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | -6 | 0 | 2 | |
0 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | -5 | 2 | |
-4 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Матрица свободных членов В:
0 | |
0 | |
0 | |
В = | 0 |
0 | |
0 | |
0 | |
1 |
Матрица неизвестных Х:
p0 | |
p1 | |
p2 | |
Х = | p3 |
p4 | |
p5 | |
p6 | |
p7 |
Чтобы найти решение – вектор столбец Х, в MS Excel нужно с помощью соответствующих функции «МОБР» найти матрицу обратную к матрице А и умножить ее на вектор-столбец В.
-0,11587 | -0,09841 | -0,09841 | -0,04127 | -0,02857 | -0,04127 | -0,30159 | 0,222222 | |||
-0,27302 | -0,0127 | -0,0127 | -0,06984 | 0,028571 | -0,06984 | -0,0873 | 0,222222 | |||
0,020635 | -0,21111 | 0,026984 | 0,04127 | -0,04286 | -0,05397 | -0,00794 | 0,111111 | |||
- A = | 0,020635 | 0,026984
| -0,21111 | -0,05397 | -0,04286 | 0,04127 | -0,00794 | 0,111111 | ||
0,034921 | 0,084127 | -0,01111 | -0,16825 | 0,042857 | 0,069841 | 0,063492 | 0,111111 | |||
0,074603 | 0,03254 | 0,03254 | 0,053968 | -0,13571 | 0,053968 | 0,06746 | 0,055556 | |||
0,034921 | -0,01111 | 0,084127 | 0,069841 | 0,042857 | -0,16825 | 0,063492 | 0,111111 | |||
0,203175 | 0,189683 | 0,189683 | 0,168254 | 0,135714 | 0,168254 | 0,210317 | 0,055556 |
p0 = | 0,222222 | |
p1 = | 0,222222 | |
p2 = | 0,111111 | |
p = | p3 = | 0,111111 |
p4 = | 0,111111 | |
p5 = | 0,055556 | |
p6 = | 0,111111 | |
p7 = | 0,055556 | |
Сумма | 1 |
Получив решение необходимо выполнить проверку нормировочного условие, т.е. сумма найденных неизвестных членов должна быть равна 1.
Пр.14 «Вычисление предельных вероятностей состояний для процесса гибели и размножения»
Цель:
Отработать и закрепить умения вычислить предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения.
Вариант 26.
Дана система, которая может находиться в одном из пяти состояний. Система работает по схеме процесса гибели и размножения, граф которого показан на рисунке Рис. 1
Рис.1
Числовые значения интенсивности перехода системы из состояния в состояние заданы в таблице 1.
(Табл. 1)
λ12 | λ23 | λ34 | λ45 | λ21 | λ32 | λ43 | λ54 |
1 | 1 | 1 | 5 | 1 | 5 | 1 | 5 |
Решение:
Вычислим финальные вероятности событий. Составим систему линейных уравнений:
для первого состояния S1 имеем:
(1.1)
для второго состояния S2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:
Но, в силу (1.1), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и и получим:
Так же для события S3:
для события S4:
и для события S5:
Итак, предельные вероятности в этой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям и нормировочному условию:
|
|
Решим эту систему уравнений. Будем решать эту систему следующим образом:
из первого уравнения выразим p2:
(1.2)
из второго, с учетом (1.2), получим:
(1.3)
из третьего, с учетом (1.3), получим:
из четвертого, с учетом предыдущего, получим:
Подставим вероятности в нормировочное условие:
Получаем
Вставим числовые значения в формулу:
Остальные вероятности выражаются через :
Подставим числовые значения:
Проверим правильность вычислений, подставив найденные значения предельных вероятностей в нормировочное условие: