Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту

Тема: Формулы объема пирамиды и конуса.

Задание: изучить теоретические основы темы по конспекту или учебнику (Геометрия. Учебник для 10-11 классов - Атанасян Л.С., глава VII, § 3, п. 80-81), решить задачи самостоятельной работы и примерную задачу № 3, и ответить письменно на контрольные вопросы.

Теоретический минимум и задачи

Историческая справка.

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Пусть площадь основания пирамиды равна , а ее высота .

Поместим начало координат в вершину пирамиды, а ось направим перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной ее высоте, на расстоянии от вершины есть многоугольник, подобный основанию.

Следовательно, ,

откуда .

Объем конуса

Прямой круговой конус получается от вращения прямоугольного треугольника вокруг оси . Составим уравнение прямой , образующей при своем вращении коническую поверхность. Обозначим и напишем искомое уравнение прямой : .