Формулы прямого и обратного преобразования Фурье позволяют по сигналу s(t) определить его спектральную плотность S(jω) и, если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности S(jω) определить сигнал s(t). Для обозначения этого соответствия между сигналом и его спектром применяется символ s(t)↔ S(jω).
С помощью свойств преобразований Фурье можно определить спектр измененного сигнала, преобразуя спектр первоначального сигнала.
Основные свойства:
1. Линейность
s1(t)↔ S1(jω)
⁞ ⁞
sn(t)↔ Sn(jω)
___________________________
Воспользуемся прямым преобразованием Фурье
Окончательный результат
Вывод: прямое преобразование Фурье, является линейной операцией, обладает свойствами однородности и аддитивности. Поэтому спектр суммы сигналов равен сумме спектров.
2. Спектр сигнала, сдвинутого во времени
s(t)↔ S(jω)
____________
s(t±t0)↔Sc(jω).
Окончательный результат
(3.2)
Вывод: сдвиг сигнала во времени на величину ±t0 приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину ±ωt0. Амплитудный спектр не изменяется.
3. Изменение масштаба во времени
s(t)↔ S(jω)
___________________________
s(αt)↔ Sм(jω).
Окончательный результат
Вывод: при сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот при пропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.
4. Спектр производной
s(t)↔ S(jω)
___________________________
ds(t)/dt↔ Sп(jω).
Для определения спектра производной сигнала возьмем производную по времени от правой и левой части обратного преобразования Фурье:
Окончательный результат
Вывод: спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω>0 и равная -π/2 при ω<0.
5. Спектр интеграла
s(t)↔ S(jω)
___________________________
Возьмем интеграл от правой и левой части обратного преобразования Фурье
Сравнивая результат с обратным преобразованием Фурье, получаем
Окончательный результат
Вывод: спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен спектру исходного сигнала, деленному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω<0 и равная -π/2 при ω>0.
6. Спектр произведения двух сигналов
s1(t)↔ S1(jω)
s2(t)↔ S2(jω)
___________________________
s1(t) s2(t)↔ Sпр(jω).
Найдем спектр произведения двух сигналов с помощью обратного преобразования Фурье
Окончательный результат
Вывод: Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, умноженной на коэффициент 1/(2π).
7. Свойство дуальности
Если сигналу s(t) соответствует амплитудный спектр S(ω), то сигналу, имеющему форму такую же, как форма амплитудного спектра S(ω), соответствует спектр, имеющий форму сигнала s(t).
8. Смещение спектра сигнала
sв(t)↔ Sв(jω)
___________________________
sр(t)=sв(t)cos(ω0t)↔Sр(jω).
Произведение двух сигналов s1(t) и s2(t)= cos(ω0t+ φ) образует гармонический сигнал s(t)= s1(t)cos(ω0t+ φ). Так если s1(t) – видеоимпульс, то s(t) – это радиоимпульс с несущей частотой ω0.
Определим спектральную плотность сигнала s(t):
Таким образом, спектральная плотность сигнала sр(t) равна
Вывод: При умножении сигнала на гармоническую функцию образуется сигнал, спектр которого представляет собой преобразованный спектр сигнала s1(t). Суть преобразования заключается в переносе спектра на ±ω0 с уменьшением вдвое его величины.
Рассмотренные свойства преобразования Фурье значительно облегчают вычисление спектров различных сигналов.