2020-06-08
86
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение относительно искомой функции, ее первой и второй производной. В общем виде это уравнение записывается как
где 
заданная функция указанных аргументов.
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция 
от 
и двух независимых произвольных постоянных 
и 
, обращающих данное уравнение в тождество. Общее решение, заданное в неявном виде 
, называют общим интегралом.
Частным решением уравнения называется решение 
, полученное из общего путем фиксирования значений произвольных постоянных: 
.
Задача Коши. Найти решение 
дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее условиям: 
. Числа 
, определяющие искомое частное решение, находятся из системы уравнений:
.
9. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
Если уравнение 
разрешимо относительно старшей производной, то его можно представить в виде
.
К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части зависит только от одного из трех аргументов
|
|
|
(А)
(Б)
(В)
Общее решение уравнения (А) находится двукратным интегрированием.
Уравнения (Б) (В) интегрируются подстановкой
которая дает возможность свести их к уравнениям с разделяющимися переменными
Уравнение 
, подстановкой приводится к уравнению первого порядка 
, в котором роль независимой переменной играет 
.
Пример.
Проинтегрировать дифференциальное уравнение:
.
Делаем замену . Отсюда
.
В результате исходное уравнение примет вид
.
Преобразуем его следующим образом:
.
Это уравнение распадается на два.
1. 
2. 
.
Используя, что 
, найдем:
3. 
.
Или 
. Отсюда
4. 
. Возвращаемся к старой переменной.
5. 
. Интегрируем.
6. 
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
