Исследование математических моделей в электронных таблицах

Задача 1. Необходимо покрасить краской стены кухни. Сколько потребуется банок краски, если известно, что размеры кухни 405 × 310 × 285 см; 88% площади стен занимает кафельная плитка; 1 банка краски предназначена для покраски площади 5 м²?

I этап. Постановка задачи.

Описание задачи.

a = 405 см – длина комнаты,
b = 310 см – ширина комнаты,
c = 285 см – высота комнаты,
1 – 0,88 = 0,12 – часть комнаты для покраски (без кафеля),
5 м² – площадь покраски при использовании 1 банки краски.

Цель моделирования. Определить необходимое количество краски.

Формализация задачи в виде поиска ответов на вопросы.

Таблица 1. Формализация задачи 1

Уточняющий вопрос	Ответ
Что моделируется?	Система, состоящая из двух объектов: комнаты и краски.
Форма комнаты?	Прямоугольная.
Что известно о комнате?	Размеры задаются длиной (а), шириной (b), высотой (с).
Как учитывается окрашиваемая поверхность?	88% не окрашивается, следовательно, можно рассчитать процент окрашиваемой поверхности.
Что известно о краске?	1 банка предназначена для покраски 5 м2.
Можно ли купить часть банки с краской?	Нет. Количество банок с краской должно быть целым.
Что надо определить?	Необходимое количество банок с краской.

II этап. Разработка модели.

Информационная модель.

Таблица 2. Информационная модель задачи 1

Объект	Параметры
	Название	Значение
Краска	Наименование образцов Площадь покраски при использовании 1 банки (S1 банка)	Исходные данные Расчетные данные
Комната	Длина (а) Ширина (b) Высота (с) Неокрашиваемая поверхность (Sстен с кафелем) Площадь стен (Sстен для покраски.)	Исходные данные Исходные данные Исходные данные Рекомендуется 88% Расчетные данные
Система	Количество банок (К)	Результаты

Дополним информационную модель в табличной форме математической моделью. S_{стен с кафелем} =2(a + b)c; S_{стен для покраски} = 2(a + b)c * 0,12.

Чтобы определить, сколько потребуется банок краски, надо площадь для покраски разделить на 5 м², т. е. S_{стен для покраски} /5 и результат округлить до целых.

 На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы.

Рис. 4 Электронная таблица в режиме отображения формул

Рис. 5 Электронная таблица в режиме отображения значений

III этап. Компьютерный эксперимент.

1) Проведем расчет количества банок краски, необходимых для покраски стен кухни.

2) Изменим данные (1 банку краски хватит на 2 м², 1 м², 3 м², 0,5 м²) и проследим за пересчетом результатов.

IV этап. Анализ результатов. С помощью MS Excel мы определили, что для покраски стен кухни необходима 1 банка краски. Можно также определить, сколько краски понадобится, если размер кухни будет иным или 1 банку краски хватит на иную площадь.

 

Задача 2.  Площадь прямоугольника 64 см². Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

I этап. Постановка задачи.

Описание задачи.

a – длина прямоугольника,
b   – ширина прямоугольника,
S=64 см² - площадь прямоугольника,
P – периметр прямоугольника.
Цель моделирования. Определить длину каждой стороны прямоугольника, чтобы периметр был наименьшим.

Формализация задачи в виде поиска ответов на вопросы.

Таблица 3. Формализация задачи 2

Уточняющий вопрос	Ответ
Что моделируется?	Фигура, состоящая из двух объектов: ширины и длины.
Форма фигуры?	Прямоугольная.
Что известно о фигуре?	Размеры задаются длиной (а), шириной (b), площадью (S), периметром (Р).
В какой зависимости находятся объекты в фигуре?	Площадь равна произведению длины и ширины. Периметр – сумма длин всех сторон.
Что известно о площади?	Площадь – величина постоянная, S=64см2.
Что известно о периметре?	Периметр должен быть наименьшим возможным.
Что надо определить?	Длины сторон прямоугольника при наименьшем периметре.

II этап. Разработка модели.

Информационная модель.

Таблица 4. Информационная модель задачи 2

Объект	Параметры
	Название	Значение
Длина	Размер (a)	Результаты
Ширина	Размер (b)	Расчетные данные
Площадь	Произведение длины и ширины (S)	Исходные данные, в задаче константа
Периметр	Периметр – сумма длин всех сторон.	Расчетные данные

Дополним информационную модель в табличной форме математической моделью. S_прям. =a*b; P_прям.= 2(a + b). Чтобы определить размер длины, нужно площадь прямоугольника разделить на размер ширины, т. е. b=S/a.

 На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы. В ячейке B3 (значение длины) будет подбираться значение, поэтому ничего не вводим. В ячейку B4 вводим формулу для вычисления ширины, в ячейку B5 – для вычисления площади, в ячейку B6 – для вычисления периметра.

Рис. 6 Электронная таблица в режиме отображения формул

III этап. Компьютерный эксперимент.

1) Установив курсор в ячейке со значением периметра B6, который по условию должен быть наименьшим, в «Сервис – Поиск решений», установим целевую ячейку $B$6 равной минимальному значению, изменяя ячейки $B$3

2) Изменим данные (пусть площадь будет равна 36 см², 100 см², 150 см²) и проследим за пересчетом результатов.

IV этап. Анализ результатов. С помощью MS Excel мы определили, что, если площадь прямоугольника равна 64 см², стороны будут равны 8 см, периметр в этом случае будет наименьшим.

 

Задача 3. У маленького Васи есть небольшой бассейн во дворе. Иногда Вася ходит к речке и приносит воду в бассейн в небольшой цистерне цилиндрической формы. Известны ширина - 4,3 м, высота – 2 м, длина - 5,8 м бассейна и объем цистерны 4,5 м³. Сколько раз Васе нужно сходить к речке за водой, чтобы наполнить бассейн наполовину?

I этап. Постановка задачи.

Описание задачи.

ДБ – длина бассейна,
ШБ – ширина бассейна,

ВБ – высота бассейна,
ОбЦ – объём цистерны.
Цель моделирования. Определить количество походов к реке за водой, чтобы наполнить бассейн наполовину.

Формализация задачи в виде поиска ответов на вопросы.

Таблица 5. Формализация задачи 3

Уточняющий вопрос	Ответ
Что моделируется?	Система, состоящая из бассейна и воды.
Форма бассейна?	Параллелепипед.
Что известно о бассейне?	Размеры бассейна задаются длиной (ДБ), шириной (ШБ), высотой (ВБ).
Как учитывается заполняемое водой пространство?	Бассейн должен быть заполнен наполовину.
Что надо знать о воде?	Ее приносят в бассейн цистерной в форме цилиндра.
Что надо определить?	Сколько раз (N) нужно сходить к речке за водой, чтобы наполнить бассейн наполовину?

II этап. Разработка модели.

Информационная модель.

Таблица 6. Информационная модель задачи 3

Объект	Параметры
	Название	Значение
Вода	Объем цистерны (ОбЦ)	Исходные данные Расчетные данные
Бассейн	Длина (ДБ) Ширина (ШБ) Высота (ВБ) Объем бассейна (ОБ)	Исходные данные Исходные данные Исходные данные Расчетные данные
Система	Количество походов за водой (N)	Результаты

Дополним информационную модель в табличной форме математической моделью. ОБ_б=ДБ*ВБ*ШБ. Чтобы определить, сколько раз нужно сходить к речке за водой, чтобы наполнить бассейн наполовину, нужно объем бассейна разделить на объем цистерны и разделить на 2, т. е. N= ОБ_б/ОБЦ/2. Данный результат, скорее всего, будет представлен десятичной дробью. Округляем его до целых.  На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы.

Рис. 7 Электронная таблица в режиме отображения формул

 

III этап. Компьютерный эксперимент.

Изменим данные,  проследим за пересчетом результатов.

Таблица 7. Изменение параметров задачи 3

№ эксперимента	Длина бассейна	Ширина бассейна	Высота бассейна	Объем цистерны	Объем бассейна	Количество походов за водой
1.	5,8 м	4,3 м	2 м	4,5 м3	49,88 м3	6 раз
2.	5,8 м	3 м	2 м	4,5 м3	34,8 м3	4 раза
3.	5,8 м	3 м	1 м	4,5 м3	17,4 м3	2 раза
4.	4 м	3 м	1 м	4,5 м3	12 м3	2 раза
5.	4 м	3 м	1 м	3 м3	12 м3	2 раза

 

IV этап. Анализ результатов. Полученная модель позволяет пересчитывать количество походов за водой для наполнения бассейна при изменении каких-либо параметров (ширина, длина, высота бассейна, объем цистерны).

 

 

Заключение

В процессе написания курсовой работы была изучена литература, связанная с теоретическими основами моделирования. Дано определение понятию модели, приведена классификация различных моделей, исследованы основные возможности программ MS Excel и OpenOffice.org Calc. Также рассмотрены математические модели  и исследовано их поведения с помощью электронных таблиц.

Тема, освещённая в данной работе, актуальна, т.к. понятие модели – фундаментальное понятие информатики. Оно проходит через весь курс информатики, изучаемой в школе. В процессе познания окружающего мира человечество постоянно использует моделирование и формализацию. Очень часто формализованная модель выражается с помощью математических формул, т.е. математическая модель – одна из наиболее используемых.
Основной инструмент при создании и исследовании моделей – компьютер. Прикладные программы помогают быстро и надёжно исследовать созданные модели и представлять наглядный результат.

Работа может быть использована на уроках информатики. Модели и методы их обработки создаются новые, поэтому тема в дальнейшем может быть дополнена.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Microsoft Excel. [Википедия] (01.12.12), /http://ru.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel

2. Гейн А. Г., Информатика. 7-9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - 8-е изд., стер. - М.: Дрофа, 2005. - 240с.: ил.

3. Макарова Н. В. Информатика. 7-9 класс. Базовый курс. Задачник по моделированию. – СПб.: Питер, 2007. – 176 с.: ил.

4. Макарова Н. В. Информатика. 7–9 класс. Базовый курс. Учебник. – СПб.: Питер, 2008. - 288с.: ил.

5. Семакин И. Г, Залогова Л. А, Русаков С. В, Шестакова Л. В. Информатика. Базовый курс. 7–9 классы– 4-е издание. М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 390 с.: ил.

6. Табличный процессор. [Википедия] (01.12.12), /http://ru.wikipedia.org/wiki/Табличный_ процессор 

7. Церенова О. А. Математическое моделирование: Пособие для учителя. - Пермь: Перм. гос. пед. ун-т, 1995. - 259с.