Задача на сферическое движение тела.
Конус с углом при вершине 2α = 60° и радиусом основания r = 20 см катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Скорость центра основания постоянна, VС = 60 см/сек.
Определить:
- угловую скорость конуса ω;
- угловое ускорение конуса ε;
- скорости нижней и наивысшей точек основания VA и VB;
- ускорения этих же точек a A и a B (рис).
Решение.
1) Рассматриваемое движение конуса является сферическим, так как его вершина остается неподвижной.
Так как конус катится по неподвижной плоскости, то образующая OA, которой он соприкасается с плоскостью, является мгновенной осью (все точки этой образующей имеют нулевую скорость).
Зная скорость точки C, можно сразу определить угловую скорость конуса. Найдем расстояние от C до мгновенной оси:
Учитывая направление вектора νс, откладываем вектор ω от точки O вдоль мгновенной оси так, чтобы смотря ему навстречу, видеть вращение конуса происходящим против движения часовой стрелки;
|
|
2) для определения углового ускорения ε необходимо построить годограф угловой скорости ω. При качении конуса по горизонтальной плоскости вектор ω перемещается в этой плоскости, поворачиваясь вокруг вертикальной оси z. Так как модуль его не изменяется, то конец вектора ω описывает окружность в горизонтальной плоскости.
Вектор ε геометрически равен скорости u конца вектора ω. В данном случае скорость u является вращательной вокруг оси z. Угловая скорость этого вращения ω1 определяется как угловая скорость вращения оси конуса OC вокруг оси z. Чтобы определить ее модуль, находим расстояние от точки C до оси z:
CL = OC cos30° = OA cos30° cos30° = 2r cos2 30° =
= 40 ∙ 3/4 = 30 см.
Определяем ω1:
ω1= νс / CL = 60 / 30 = 2 с-1.
Скорость u находим как вращательную скорость точки – конца вектора угловой скорости ω при вращении вокруг оси z:
ε = u = ω1∙ω = 2∙2√3 = 6,93 с-2.
Вектор ε отложен от неподвижной точки в направлении скорости u, т.е. лежит в горизонтальной плоскости и перпендикулярен ω;
3) определим скорости точек A и B. Точка A лежит на мгновенной оси вращения, ее скорость равна нулю νA=0.
Скорость точки B (рис):
νB = ω∙BK1 = ω∙2CK = 2√3∙20√3 = 120 см/с.
Вектор скорости νB направлен перпендикулярно плоскости ΩOz;
4) точка B имеет ускорение a B, равное сумме осестремительного ускорения a ΩBoc и вращательного ускорения a EBвр:
a B = a ΩBoc + a EBвр
a ΩBoc = ω2 ∙ BK1 = 415,7 см/с.
Для определения модуля a EBвр опустим из B перпендикуляр на ось углового ускорения E. Этот перпендикуляр совпадает с отрезком BO (рис).
|
|
a EBвр = ε ∙ BO = 4√3 ∙ 40 = 277,1 см/с2.
Направляем a EBвр перпендикулярно BO в плоскости, перпендикулярной ε так, чтобы, смотря навстречу ε, видеть a EBвр, направленным против часовой стрелки.
Определяем модуль a B как длину диагонали параллелограмма:
В точке A, лежащей на мгновенной оси вращения, осестремительное ускорение равно нулю: a ΩAoc=0. Определяем модуль вращательного ускорения точки A (рис):
a EBвр = ε ∙ AO = 4√3∙40 = 277,1 см/с2.
Вектор a EAвр направлен перпендикулярно AO в плоскости ΩOz.
a A = a EAвр = 277,1 см/с2.