III Свойства последовательностей

Начала математического анализа. Дифференциальное исчисление

Тема 9.1. Последовательности.

I    Числовая последовательность

ОПР. Расположенные друг за другом n чисел а₁, а₂, а₃, …, а_n называется числовой последовательностью длины n.

    Элементы из которой она составлена называются её членами.

ОПР, Бесконечной числовой последовательностью {а_n} называется отображение

Здесь а_n = f(n) - n –ый член последовательности.

Пример. Последовательность приближенных значений   

Х₁= 1;  Х₂ = 1,4;    Х₃ = 1,41; …

Способы задания последовательностей.

1. Словесный

2. Формулой общего вида

3. Таблицей  

4. Графический

5. Рекурентно, т.е. для вычисления n-го члена надо знать предыдущий.

ОПР. Числовая последовательность – это множество вещественных чисел х₁, х₂, х₃, …, х_n, … (1).

В случае, если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3,…,n, … (n ).Поставлено в соответствие вещественное число х_n.

Элементы (члены) последовательности – это числа х₁, х₂, х₃, …, х_n, …

ОПР. Общий член последовательности обозначается символом х_n, где n – его номер. Символ {x_n} – это сокращённое обозначение последовательности (1).

Пример. {x_n} = { } – это последовательность чисел 1; ;

ОПР. Последовательность называется заданной, если указан способ получения любого его элемента.

Пример. Х_n = ;    1; 2; 4; 8; 16; …

II    Рекурентные соотношения.

1. Арифметическая прогрессия

2. Геометрическая прогрессия

3. Последовательность Фибоначчи: а_n+2= a_n+1 + a_n

4. Последовательность факториалов: a_n+1 = a_n • (n+1)

n! – n факториал                  n! = 1•2•3•4•5• … • n                     5! = 1•2•3•4•5 = 120

5. Последовательность квадратов.

Всегда необходимо указать не только формулу, но и начальные члены последовательности.

Последовательность может быть задана как обычная функция, например формулой n-го члена а_т = f (n). Получим а₁  = f(x_x); a₂ = f(x₂); a₃ = f(x₃); …, a_n = f(x_n)

III Свойства последовательностей

1) Действия над последовательностями.

- Сложение

- Вычитание

- Умножение

- Деление

2) Функциональные свойства \

ОПР. Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый последующий её член больше предыдущего, т.е. для любого n>1, a_n > a_n-1.

Для убывающей числовой последовательности a_n < a_n-1

Пример. 1,2,3,4,5,….а_n - возрастающая числовая последовательность

 

1; ; - убывающая числовая последовательность

 

ОПР. Последовательность называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая.

Геометрическая последовательность изображается в виде последовательности точек на числовой оси. Координаты этих точек равны соответствующим членам последовательности.

Пример. Последовательность { } на числовой оси.

ОПР. Последовательность а₁, а₂, а₃, …а_n называется ограниченной, если для её членов можно указать общую границу, т.е. такое число с, что неравенство |a_n| ≤ c выполняется для всех номеров n.

Пример. { }, с=1

Последовательность может быть ограничена сверху, снизу, как сверху так и снизу.