Решение пропорций. Приведение дробей к общему знаменателю

В уравнениях , , левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая и правая часть является дробным выражением, называют дробным. Так, уравнение целое, а уравнения и дробные рациональные. Причём последнее имеет вид пропорции.

Основной способ решения рациональных уравнений состоит в преобразовании их в простейшие целые уравнения: линейные или квадратные.

При решении дробных рациональных уравнений и в частности уравнений, записанных в виде пропорции нужно помнить главное правило: в знаменателе не может стоять выражение, обращающееся в нуль при каких-либо значениях переменных. Это правило записывается при решении и носит название определение «области допустимых значений». Область допустимых значений позволяет исключить так называемые «посторонние корни», которые иногда образуются при преобразовании исходного уравнения.

Итак, посторонними называют те корни линейного или квадратного уравнения, при которых хотя бы один из знаменателей рационального уравнения обращается в нуль. Естественно, они уже не будут являться корнями данного рационального уравнения и их надо исключить.

При решении дробных рациональных уравнений есть определённый алгоритм:

1. Привести все дроби, входящие в уравнение, к общему знаменателю, разложив для этого все знаменатели предварительно на множители.

2. Умножить все члены данного уравнения на общий знаменатель, исключив при этом те значения переменных, которые обращают знаменатели в нуль, из области допустимых значений.

3. Решить получившееся целое уравнение.

4. Исключить посторонние корни и записать ответ.

Решим уравнение . Здесь всего одна дробь в левой части, поэтому мы можем сразу умножить обе части этого уравнения на знаменатель дроби, стоящей в левой части. При этом мы должны сразу исключить х=2 как посторонний корень, так как при х=2 знаменатель дроби обращается в нуль. Умножив обе части на , получим квадратное уравнение