Оценка точности регрессионных значений экономического показателя при различных значениях фактора

Завершающим этапом построения эконометрической модели является получение формулы для определения дисперсии регрессионого значения экономического показателя при различных значениях фактора

{ Y* (X)}= (  - 2X  + N )// [N  - () ] (7.22)

                      Xmin £ X £ Xmax

 

Значения Xmin, Xmax определяются по формулам (7.4), (7.5).

Формула (7.22) используется для построения двухсторонних доверительных интервалов регрессионных значений экономического показателя

[Y* (X) - S{ Y* (X)}; Y* (X) + S{ Y* (X)}]            (7.23)

                       Xmin £ X £ Xmax

Табличное значение    определяется при доверительном уровне a (обычно 0.95). Значение Y* (X) определяется по формуле (7.2). Значение

S{Y* (X)} определяется по формуле (7.22).

Назначение доверительных интервалов, определяемых по формуле (7.23), состоит в оценке области значений экономического показателя, в которой находится истинная экономическая зависимость.

Построение доверительного интервала производится с помощью формул, описывающих зависимости верхних и нижних граничных значений от значений фактора.

Верхние граничные значения доверительного интервала определяются по формуле

            Y*(X)верх. = Y* (X) + S{Y*(X)},                    (7.24)

                            Xmin £ X £ Xmax

Нижние граничные значения доверительного интервала определяются по формуле           

           Y*(X)нижн. = Y* (X) - S{Y*(X)},                  (7.25)

                            Xmin £ X £ Xmax

Разность между граничными значениями определяется по формуле

     D Y* (X) =Y*верх. - Y*нижн. = 2 S{ Y* (X)},         (7.26)  

{ Y* (X)}= (  - 2X  + N ) / [N  - () ],  

                           Xmin £ X £ Xmax

Максимальное значение доверительного интервала определяется по формуле

   D Y* (X)max = D Y* (X) = 2 S{ Y* (X{Dmax})},     (7.27)

                             Xmin £ X £ Xmax

Минимальное значение доверительного интервала определяется по формуле

   D Y* (X)min = D Y* (X) = 2 S{ Y* (X{Dmin})},       (7.28)

                          Xmin £ X £ Xmax

Для построенной регрессионной модели первого порядка доверительные границы являются криволинейными и определяются с помощью уравнений второго порядка.

Последовательность построения и анализа более сложных эконометрических моделей будет аналогичной, но в отличие от модели парной регрессии для этого необходимо использование специальных компьютерных программ.

Ковариационная матрица и ее выборочная оценка

Вариации оценок параметров будут, в конечном счете, опре­делять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматрива­ют так называемую ковариационную матрицу К, являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной:

.

 

где элементы ковариации (или корреляционные моменты) оце­нок параметров  и . Ковариация двух пере­менных определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих переменных от их математических ожиданий [Ссылка]. Поэтому

,                   (13.28)

где и математические ожидания соответственно для параметров  и .

Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных.

В силу того, что оценки , полученные методом наименьших квадратов, являются несмещенными оценками параметров , т.е. , выражение (13.28) примет вид:

.

Рассматривая ковариационную матрицу К, легко заметить, что на ее главной диагонали находятся дисперсии опенок пара­метров регрессии, ибо

 

.  (13.29)

 

В сокращенном виде ковариационная матрица К имеет вид:

 

.                   (13.30)

 

Учитывая (13.28) мы можем записать

.

Тогда выражение (12.30) примет вид:

,           (13.31)

 

ибо элементы матрицы X —неслучайные величины.

Матрица  представляет собой ковариационную матри­цу вектора возмущений :

 

 

в которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю в силу предпосылки 4 о некоррелированности воз­мущений , и  между собой, а все элементы, ле­жащие на главной диагонали, в силу предпосылок 2 и 3 регрес­сионного анализа  равны одной и той же дисперсии :

 

.

Поэтому матрица , где  единичная матрица го

порядка. Следовательно, в силу (13.31) ковариационная матрица вектора   оценок параметров:

 

 

Так как  и , то окончательно получим:

 

          (13.32)

Таким образом, с помощью обратной матрицы нормальных уравнении регрессии определяется не только сам вектор  оценок параметров (13.28), но и дисперсии и ковариации его компонент.

Входящая в (13.32) дисперсия возмущений неизвестна. За­менив ее выборочной остаточной дисперсией

       (13.33)

по (13.32) получаем выборочную оценку ковариационной мат­рицы К. (В знаменателе выражения (13.33) стоит , а не , как это было выше в (13.6). Это связано с тем, что теперь степеней свободы (а не две) теряются при определении не­известных параметров, число которых вместе со свободным чле­ном равно .