Разобьем элемент на ряд бесконечно малых полосок (рис. 5.7).
Каждый физический элемент (полоску) параллельную оси балки будем называть волокном.
1. При чистом изгибе часть волокон испытывает деформацию простого растяжения, а другая часть – простого сжатия. Волокна, расположенные между ними и не испытывающие деформаций удлинения, называются нейтральными волокнами.
2. Соседние волокна не оказывают давления друг на друга.
3. Гипотеза плоских сечений. Поперечные сечения в процессе деформации остаются плоскими и только поворачиваются вокруг оси, расположенной в нейтральном слое (вокруг нейтральной оси).
Рис. 5.7
Следствие: Волокна, равноотстоящие от нейтрального слоя, деформируются одинаково.
Выделим из балки, находящейся в условиях чистого изгиба, бесконечно малый элемент длиной сечениями, перпендикулярными оси балки (рис. 5.8).
Рис. 5.8
нейтральное волокно в недеформируемом состоянии:
.
Под воздействием момента произойдет деформация элемента
(рис. 5.9). Согласно первому выводу из опытов на чистый изгиб нейтральное волокно не деформируется и необходимо определить деформацию волокна находящегося на расстоянии от нейтральной оси.
Рис. 5.9
Относительная деформация волокна AB:
, (5.3)
где радиус кривизны нейтрального волокна.
.
Тогда ;
.
Подставим полученные выражения в уравнение (5.3):
.
Согласно закону Гука,
.
Тогда
(5.4)
физическое уравнение совместности деформаций. (Закон распределения напряжений по высоте балки).
Свяжем напряжение с внутренними силовыми факторами, возникающими в поперечном сечении при чистом изгибе. Пусть на бесконечно малый элемент, находящийся на расстоянии и от соответствующих осей, действует напряжение (рис. 5.10).
Рис. 5.10
Запишем уравнение равновесия в виде суммы проекций на оси координат.
. (5.5)
Уравнение моментов относительно осей:
; ; (5.6)
; ; (5.7)
.
Будем решать совместно уравнения (5.4) – (5.7), подставляя уравнение (5.4) в уравнения (5.5) – (5.7) последовательно:
.
равен нулю, так как оси и – центральные;
,
равен нулю, согласно свойству главных центральных осей;
,
или .
Подставим в уравнение (5.4):
.
Общий вид эпюры нормальных напряжений при изгибе показан на рис. 5.11.
|
|
Рис. 5.11
В данной формуле изгибающий момент в сечении; осевой момент инерции сечения относительно главной центральной оси ; расстояние от рассматриваемой точки сечения до нейтральной оси. Данная зависимость линейная. Максимальное напряжение возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси:
. (5.8)