Геометрический смысл метода простой итерации

Сходящийся метод простой итерации

Расходящийся метод простой итерации

В качестве начального приближения обычно берут середину отрезка [a,b]: .

На практике часто в качестве берут функцию , где с – некоторая постоянная. Постоянную c выбирают таким образом, чтобы для всех x ∈[ a, b ].

При таком выборе функции метод простой итерации называют методом релаксации.

Получим условия на выбор с:

Таким образом, если f^/(x)<0, то 2/f^/(x)<c<0. Если же f^/(x)>0, то 2/f^/(x)>c>0.

Видно, что знак у с совпадает со знаком f^/(x). Часто с берут в виде: .

Убедимся, что такое c удовлетворяет условию сходимости:

Пусть f^/(x)>0. Тогда M>0 и m>0 -> c>0 и . Следовательно, 2/f^/(x)>c>0.

Пусть f^/(x)<0. Тогда M<0 и m<0-> c<0 и

Следовательно, 2/f^/(x)<c<0.

Найдем, второй корень нашего исходного уравнения x³‑ 6x²+3x+11=0, который лежит на интервале [1, 3] с точностью .

С  начала найдем функцию . В нашем случае f(x)= x³‑ 6x²+3x+11.

Для нахождения c необходимо найти максимальное и минимальное значения f^/(x) на отрезке [1, 3]. Для этого необходимо найти значения f^/(x) на концах интервала и в точках, где f^//(x)=0, т.е. в точках экстремума, если такие точки для рассматриваемого интервала существуют. И выбрать среди этих значений f^/(x) максимальное и минимальное значения.

f^/(1)=3x²-12x+3=-6, f^/(3)=-6, f^//(x)=6x-12=0 при x=2 , f^/(2)=-8.

Следовательно,

Таким образом, .

Вычисления оформим в виде таблицы:

Здесь x₀=(1+3)/2=2, , и т.д.

Условием окончания итерационного процесса является условие: | x_k+1 – x_k |< ε или | f(x_k) |< ε.