Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими называются уравнения sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=asinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a, где xx — угол, который нужно найти, aa — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение sinx=asinx=a.
При |a|>1|a|>1 не имеет решений.
При |a|≤1|a|≤1 имеет бесконечное число решений.
Формула корней: x=(−1)narcsina+πn,n∈Zx=(-1)narcsina+πn,n∈Z
Таблица арксинусов
2. Уравнение cosx=acosx=a
При |a|>1|a|>1 — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При |a|≤1|a|≤1 имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: x=±arccosa+2πn,n∈Zx=±arccosa+2πn,n∈Z
Таблица арккосинусов
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение tgx=atgx=a
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.
Формула корней: x=arctga+πn,n∈Zx=arctga+πn,n∈Z
Таблица арктангенсов
4. Уравнение ctgx=actgx=a
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.
Формула корней: x=artga+πn,n∈Zx=artga+πn,n∈Z
Таблица арккотангенсов
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
|
|
Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
- с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.
Рассмотрим на примерах основные методы решения.
Алгебраический метод.
В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.
Пример. Решить уравнение: 2cos2(x+π6)−3sin(π3—x)+1=02cos2(x+π6)-3sin(π3—x)+1=0
Решение. Используя формулы приведения, имеем:
2cos2(x+π6)−3cos(x+π6)+1=02cos2(x+π6)-3cos(x+π6)+1=0,
делаем замену: cos(x+π6)=ycos(x+π6)=y, тогда 2y2−3y+1=02y2-3y+1=0,
находим корни: y1=1,y2=12y1=1,y2=12, откуда следуют два случая:
1. cos(x+π6)=1cos(x+π6)=1, x+π6=2πnx+π6=2πn, x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn.
2. cos(x+π6)=12cos(x+π6)=12, x+π6=±arccos12+2πnx+π6=±arccos12+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.
Ответ: x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.
Разложение на множители.
Пример. Решить уравнение: sinx+cosx=1sinx+cosx=1.
Решение. Перенесем влево все члены равенства: sinx+cosx−1=0sinx+cosx-1=0. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:
sinx—2sin2 x2=0sinx—2sin2 x2=0,
2sin x2cos x2−2sin2 x2=02sin x2cos x2-2sin2 x2=0,
2sin x2(cos x2−sin x2)=02sin x2(cos x2-sin x2)=0,
- sin x2=0sin x2=0, x2=πnx2=πn, x1=2πnx1=2πn.
- cos x2−sin x2=0cos x2-sin x2=0, tg x2=1tg x2=1, x2=arctg1+πnx2=arctg1+πn, x2=π4+πnx2=π4+πn, x2=π2+2πnx2=π2+2πn.
Ответ: x1=2πnx1=2πn, x2=π2+2πnx2=π2+2πn.
|
|