Теорема Ньютона - лейблица

Теорема Ньютона — Лейбница, которую также называют основной теоремой анализа утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Точнее, это касается значения первообразных для определённых интегралов. Поскольку, как правило, легче вычислить первообразную, чем применять формулу определённого интеграла, теорема даёт практический способ вычисления определённых интегралов. Она также может быть интерпретирована как точное утверждение о том, что дифференцирование является обратной операцией интегрирования.

Теорема гласит: если функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] и если F есть функция, производная которой равна f на интервале (a, b), то:

 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}

Кроме того, для любого x из интервала (a, b)

 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}

Это понимание, сделанное как Ньютоном, так и Лейбницем, которые основывали свои результаты на более ранних трудах Исаака Барроу, было ключом к быстрому распространению аналитических результатов после того, как их работы стали известны. Фундаментальная теорема даёт алгебраический метод вычисления многих определённых интегралов без ограничения процессов, путём нахождения формулы первообразной. Кроме того, возник прототип для решения дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения связывают неизвестные функции с их производными, они применяются повсеместно во многих науках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Надо отметить, что Ньютон не только достаточно полно разработал анализ, но и сделал попытку строго обосновать его принципы. Если Лейбниц склонялся к идее актуальных бесконечно малых, то Ньютон предложил (в «Началах») общую теорию предельных переходов, которую несколько витиевато назвал «метод первых и последних отношений». Используется именно современный термин «предел» хотя внятное описание сущности этого термина отсутствует, подразумевая интуитивное понимание. Теория пределов изложена в 11 леммах книги I «Начал»; одна лемма есть также в книге II. Арифметика пределов отсутствует, нет доказательства единственности предела, не выявлена его связь с бесконечно малыми. Однако Ньютон справедливо указывает на большую строгость такого подхода по сравнению с «грубым» методом неделимых. Тем не менее в книге II, введя «моменты» (дифференциалы), Ньютон вновь запутывает дело, фактически рассматривая их как актуальные бесконечно малые. Примечательно, что теорией чисел Ньютон совершенно не интересовался. По всей видимости, физика ему была гораздо ближе математики.