Группа 1С-46/ТЭ-49
Тема. Формулы объема шара и площади сферы.
Задание:
1. Изучить теоретические сведения.
2. Написать конспект.
3. Изучить видео урок.
4. Выполнить задания.
5. Выполненные задания сфотографировать и отправить на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС социальной сети VKontakte.
6. Выполненные задания сдать до: 17.06
Учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.
Ссылка на учебник онлайн:
https://vpr-klass.com/uchebniki/matematika/atanasyan_10-11kl.html
С. 174-177
Ссылка на видео урок: https://www.youtube.com/watch?v=0PBSUruwUa0
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.
Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.
|
|
Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.
Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями
Объем шара равен .
Объем шарового сегмента равен .
Объем шарового сектора равен .
Объем шарового слоя равен .
Площадь сферы равна S=4 πR2.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задача 1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.
Решение:
При вращении кругового сектора АОВ вокруг радиуса ОА получается тело вращения - шаровой сектор радиуса R=ОА и высотой сектора h=DA (выполнить рисунок!). Объем его вычисляется по формуле: V= (2/3)*πR²*h. Рассмотрим сечение этого сектора: в прямоугольном треугольнике ОВD (радиус круга ОА перпендикулярен хорде ВС) угол ВОD равен 60° (дано). Значит Тогда высота шарового сектора равна h=DA=OA-OD=R-R/2=R/2.
V=(2/3)*π*R²*R/2=(1/3)πR³.
Задача 2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.
Решение:
Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара. Формула объема шарового сектора: V = (2/3)*πR²*h, где h - высота сегмента. В нашем случае R=H+h, где Н - высота конуса, а h- высота сегмента. Тогда h = R-H = 6-4 =2, так как Н = (1/3)*2*R (дано). Значит V = (2/3)*π*36*2 = 48π.
Ответ: объем шарового сектора равен 48π
|
|
Задача 3. По разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью и см2. Расстояние между сечениями равно см. Определите объём получившегося шарового слоя.
Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.
Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.
По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .
Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен (см), радиус второго основания равен (см).
Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .
Домашнее задание: