Практическая работа № 23

Тема: Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве.

Цель: получить наглядное представление о пространстве и способах расположения плоскостей в пространстве

Задание:

1. Построить треугольник АВС по координатам;

2. Выполнить действие над векторами: АВ+СD; AB-CD; λ*AB

3. Найти периметр треугольника АВС;

4. Найти угол ВСА;

5. Составить уравнение прямой АВ;

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С и параллельно прямой АВ;

7. Составить уравнение высоты из точки D к плоскости АВC

8. Уравнение плоскости АВС;

9. Построить векторы a и b;

10. Найти скалярное произведение векторов a и b;

11. Найти векторное произведение векторов a и b

 

Дано:

Данные к заданиям	Варианты
	1	2	3
С 1 по 8	А(-2;-3;-4) В(2;-3;4) С(-2;3;4) D(2;3;-4) λ=1/4	А(3;-1;-4) В(-5;-4;3) С(2;-3;4) D(-3;2;-5) λ=1/3	А(0;0;2) В(3;0;-4) С(2;3;4) D(2;-3;-4) λ=1/5
С 9 по 11	а = 7i + 3j -2k b = -4i +2j	а = i + 3j -5k b = -4i + 7j + k	а = 4i -3j -4k b = -i + k

Практическая работа № 24

Тема: Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей.

Цель: отработать навыки решения геометрических задач по данной теме

I вариант

 

1. Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость a и точку С – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость a в точках А₁, В₁ и С₁ соответственно. Найти длину отрезка СС₁, если АА₁=12 см, ВВ₁=6 см.

 

2. Плоскость a, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезка ВС, если MN равен 6 см, а АМ:МВ=3:5.

 

3. Точки M, N и Р – параллельные проекции точек А, В и D на плоскость a, причем точка D принадлежит отрезку АВ. Найдите АВ, если: MN=12см, NP=8 см, а BD=14 см.

 

4. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4 см, а до каждой из его вершин – 6 см. Найдите диагональ квадрата.

 

5. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пересекающего плоскость a, до плоскости a, если расстояния от точек А и В до плоскости равны соответственно 7см и 9 см.

 

6. Точка А находится на расстоянии 3 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей a и b. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения плоскостей a и b.

 

7. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 6 см. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость, если плоскость треугольника наклонена к плоскости проекции под углом 60°.

 

8. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4, проведены две наклонные к плоскости под углом 45°. Найдите длины наклонных.

II вариант

1. Через концы отрезка MN, не пересекающего плоскость a и точку K – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость a в точках M₁, N₁ и K₁ соответственно. Найти длину отрезка NN₁, если MM₁=16 см, KK₁=9 см.

 

2. Плоскость a, параллельная стороне NM треугольника NMK, пересекает стороны MK и KN в точках D и B соответственно. Найдите длину отрезка ВD, если MN равен 14 см, а NB:BK=4:3.

 

3. Через концы отрезка ВD и точку A этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость a в точках В₁, D₁ и А₁ соответственно. Найти длину отрезка AA₁, если DD₁ равен 12 см, ВВ₁ равен 5 см, а АB:AD=3:4. Отрезок BD не пересекает плоскость a.

 

4. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 4 м, 6 м и 8 м. Найдите отрезок AK..?

 

5. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пересекающего плоскость a, до плоскости a, если расстояния от точек А и В до плоскости равны соответственно 10 см и 6 см.

 

6. Из О - центра равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр ОК к плоскости треугольника АВС. Найдите длину ОК, если ВС равно 6 см, а КС равно 4 см.

 

7. Стороны равностороннего треугольника равны 4см. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость, если плоскость треугольника наклонена к плоскости проекции под углом 30°.

 

8. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 10, проведены две наклонные к плоскости под углом 60°. Найдите сумму длин наклонных.

III вариант

1. Плоскость a, параллельная стороне KL треугольника CKL, пересекает стороны LC и KC в точках P и D соответственно. Найдите длину отрезка PD, если KL равен 27 см, а KD:DC=7:2.

 

2. Через концы отрезка CD и точку F этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость a в точках C₁, D₁ и F₁ соответственно. Найти длину отрезка FF₁, если CC₁ равен 6 см, DD₁ равен 15 см, а FC:FD=5:4. Отрезок CD не пересекает плоскость a.

 

3. Точки N, D и B – параллельные проекции точек F, S и T на плоскость a, причем точка S принадлежит отрезку FT. Найдите ST, если: NB=28см, DB=8 см, а FS=15 см.

 

4. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пересекающего плоскость a, до плоскости a, если расстояния от точек А и В до плоскости равны соответственно 4см и 10 см.

 

5. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость a, до плоскости a равны соответственно 19 см, 6 см и 16 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости a.

 

6. Точка А находится на расстоянии 2 см и 3 см от двух перпендикулярных плоскостей a и b. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения плоскостей a и b.

 

7. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1 см. Угол, лежащий напротив основания, равен 45°. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость, если плоскость треугольника наклонена к плоскости проекции под углом 45°.

 

8. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 5, проведены две наклонные к плоскости под углом 30°. Найдите сумму длин наклонных.

Практическая работа № 25

Тема: Параллельное проектирование.

Цель: сформировать умение применять понятия и свойства параллельного проектирования к решению задач

 

Вариант 1

1) Точка О лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и b, проходящие через точку О, пересекают плоскость а в точках A₁ и B₁, а плоскость β — в точках А₂ и B₂ соответственно. Найдите OB₁, если А₁0: А₁А₂ = 1: 3, B₁B₂ = 15 см.

2) В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ постройте сечение плоскостью, проходящей через точки А, В, К, где точка К — середина ребра СС₁. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см.

3) Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки А, М, N, где точки М и N — середины ребер ВВ₁ и DD₁ соответственно. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см.

Вариант 2

1) Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А₁, С₁ и А₂, С₂ соответственно. Найдите ВС₁, если А₁В: А₁А₂ = 1:3, ВС₂ = 12 см.

2) Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки А, В, С₁. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см.

3) Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки А, С, М,. где точка М — середина ребра А₁В₁. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см.