Преподаватель Шестакова Т. А.
Группы 203, 205.
ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ НА ПЕРИОД С 1.06.2020 ПО 25.06.2020
Группа203-математика-4час.
Тема: Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная.
Д. З. –Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия10-11 классы.
Стр.40-42. Составить конспект с выделением основных определений и подтверждений этих определений теоремами, примерами.
Выполнение упражнения: стр. 45 № 149, 151
Тема: Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная. Решение задач
Д. З. –Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия10-11 классы
Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»
Напоминание основных понятий
Рассмотрим плоскость α. Точка А лежит вне плоскости α. Отрезок АН перпендикулярен плоскости α.
Отрезок АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. Точка Н – основание перпендикуляра.
Отрезок АМ – наклонная, М – основание наклонной.
|
|
Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α. (Рис. 1)
Рис. 1
Свойство 1. Длина перпендикуляра меньше, чем длина наклонной. То есть, АН < AM.
Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозначение: ρ(А; α) = АН. Точка Н – проекция точки А на плоскость α.
Свойство 2.
То есть, если из точки А проведены равные наклонные, АМ = AN, то их проекции равны: MH = HN. Если проекции равны MH = HN, то равны и наклонные: АМ = AN.
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Пусть прямая а лежит в плоскости α (рис. 2), а точка А лежит вне плоскости α Пусть прямая АН перпендикулярна плоскости α, АМ – наклонная к плоскости α, НМ – проекция наклонной АМ на плоскость α. Тогда:
Рис. 2
Заметим, что прямая а перпендикулярна плоскости АМН.
Угол между прямой и плоскостью
Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Рассмотрим плоскость α и прямую a = АМ, АН – перпендикуляр, МН – проекция прямой АМ на плоскость α (рис. 3). Угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, т. е. угол НМА = φ0. Обозначение:
Рис. 3
Свойство угла между прямой и плоскостью
Пусть прямая МА проходит через точку М на плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ0 ≠ 90°. Угол φ0 является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку М.
|
|
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90
. Прямая а перпендикулярна плоскости α (рис. 4), тогда .
Рис. 4
Решение задач:
К одной плоскости проведены два перпендикуляра длиной 12см и 19 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров равно 20 см. Найти расстояние между другими концами перпендикуляров.
2.Длина перпендикуляра равна 6 см, а угол между наклонной и перпендикуляром равен 60°. Найдите длину проекции и наклонной.
3.Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 18 и 2см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3: 4. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
4.В треугольнике АВС АС = СВ = 8 см, < АСВ = 120°. Точка М удалена от плоскости АВС на расстояние, равное 12 см, и находиться на равном расстоянии от вершин треугольника АВС. Найдите угол между МА и плоскостью АВС.