Интегрирование по частям для определенных интегралов

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула (Формула интегрирования по частям для определенного интеграла):

Метод разложения. (см. билет №2)

Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем.

Интегрирование рациональных дробей. (Учебник Зарипова)

Рациональной дробью называют дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены. Рациональную дробь называют правильной, если степень многочлена P (x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.

Перед интегрированием P(x)/Q(x) нужно выполнить следующие действия:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть:

P(x)/Q(x) =M(x) + (P1(x)/ Q(x)), где M(x) - многочлен, а P1(x)/ Q(x) - правильная дробь

 

2) разложить знаменатель дроби на множители

Q(x) =  ·... ·  ·..., где x2 + px+ q - неразложимый множитель

 

3) правильную рациональную дробь представить как сумму простейших дробей:

P1(x)/ Q(x)= + +…+ + + +…+

 

4) вычислить неопределенные коэффициенты A_i (i = 1,m), Bj, Cj (j =1, n) для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов

Представить дробь: = + = = =

 Приравнивая коэффициенты

Решая систему, находим, что А = -1, В = 3, С = -2. Следовательно,

= +

 

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.(Учебник Письменного)

Рассмотрим интеграл J =  

Выделив в знаменателе полный квадрат, получим: , причем q - > о. Сделаем подстановку х +  = t. Тогда х = t - , dx = dt.

Положим q -  = Следовательно получаем J = = =M + (N- ) = ) + (N- * arctg +C

возвращаясь к переменной х

 J = ) + (N- * arctg +C